ההיגיון המוזר של קוּרט גדל, האם הוא טעה?

מה ניתן להסיק מהוכחת משפטי האי-שלמות של גדל?
תמונה של שפי
פרופסור יהושפט גבעון

בניגוד לאמונות של ההדיוטות, הוכחת משפטי האי-שלמות על ידי גדל ב-1931 לא הפכה את המתמטיקה על פיה, אבל היא כן עוררה דיונים בטבע האדם כמעט כמו שעוררה ההצלחה של תוכנות בינה מלאכותית בהסקת מסקנות מגוף (קורפוס) של מיליוני טקסטים שנכתבו על ידי בני אדם. אבל כאן עליי להזהיר אתכם כי בדיונים המנסים לגעת בטבע האדם דרך העיון בטכנולוגיה או בתוכנות, כמו בתוכנות בינה מלאכותית, נפלו משום מה שגיאות רבות.

דינה גורדון, בכתבה שפורסמה במגזין המקוון "אפוק" ביום 11 בפברואר 2024, תיארה אירוע מוזר: קוּרט גדל, "הלוגיקן הגדול ביותר מאז אריסטו", כתב לאׅימו שההיגיון מחייב שנאמין בחיים שלאחר המוות. במאמר הזה אני מבקש לבחון טענות אלו של דינה גורדון או של קורט גדל, האם הן מסקנות המתבקשות לוגית ממשפטי האי-שלמות של גדל.

בראש ובראשונה, עליי לציין כי גדל לא הוכיח דבר על מגבלות המתמטיקה בכללותה או על מגבלות האמת המתמטית בכללותה. הוא הוכיח רק שכל תיאוריה מתמטית אשר מתייחסת אל המספרים הטבעיים ומתבססת על האקסיומות של פיאנו, מבטאת אין-סוף טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן בשיטות ההוכחה המקובלות במתמטיקה. כלומר האי-שלמות שגדל גילה חלה אך ורק על תורות מתמטיות מסוג מסוים. נוכל לקרוא לטווח שבו הוכחת האי-שלמות תקפה "המתמטיקה הפורמלית".

למשל הוכחת האי-שלמות אינה חלה על הגיאומטריה האוקלידית. הגיאומטריה האוקלידית היא חסרת סתירות וכל טענה אמיתית על העצמים הגיאומטריים ניתנת להוכחה בשיטת ההוכחה המקובלת במתמטיקה הפורמלית. אי אפשר לומר זאת על תורת המספרים.

במכתבים האישיים של גדל אל אׅימו הוא ניסה להסביר לה את משמעות תגליתו. מכתבים אלה נדונו בכמה כתבות ומאמרים ברשת ואציג כאן את עיקר טיעונו של גדל כפי שצוטט בדיונים אלה.

ראשית, הוא טען שהתפתחות מדעי הטבע חושפת שהעולם החומרי בנוי באופן רציונלי וכן שהיקף הידע שלנו על העולם הזה הוא למעשה אין-סופי.

שנית, הוא טען שהאבולוציה היא חוק טבע ולכן היא צריכה להיות רציונלית.

שלישית, הוא טען שהתפתחות האדם חייבת לשאוף ולהביא אותו להשיג את הידע על העולם שבו הוא חי ולאפשר לו להגשים שאיפה זאת. טענה זו נשמעת כטענה על חובה מוסרית או תרבותית החלה על כל יצור אנושי. אבל גדל טען שזו מסקנה הגיונית של הרציונליות של האבולוציה.

רביעית, גדל טען כי בפועל יצור אנושי אינו מסוגל להשיג אפילו חלק מזערי מידע העולם שבו הוא חי, כי תקופת החיים של כל יצור אנושי מוגבלת לכמה עשרות שנים.

התמיהה של גדל הייתה שאם העולם בנוי באופן רציונלי, מה ההיגיון בהתפתחות של בני אדם מול התפתחות של מארג עצום של תכנים, כאשר בפועל בני אדם מסוגלים להשיג רק חלקיק זעום של ידע על סביבתם?

גדל הסיק מנתונים אלה שרק הכרה בנצחיות נפש האדם יכולה לפתור את התמיהה הזו. מסתבר שגדל לא היה היחיד שטען כך. ואולם, הוא היחידי שניסה לבסס את מסקנתו על שיקולים לוגיים לכאורה. הוא ידע שמסקנתו לא תהיה מקובלת על עמיתיו ולכן הוא לא פרסם אותה.

אני טוען שגדל שגה בהסקתו. הוא חשב רק על פעולת האבולוציה של הפרטים בהתפתחות המין האנושי ולא על המין האנושי בכללותו כישות כוללת המתפתחת אף היא, הפותרת בעיות, המארגנת פתרונות והמתמודדת עם קשיים. המין האנושי, בהמצאת הכתב ובפיתוח השיטה המדעית, מצא דרך לעקוף את מגבלות טווח החיים של האדם היחיד. אז היחיד אינו מסוגל לנצל את תרומת האבולוציה בפיתוח של העולם, אבל המין האנושי כמערכת מסוגל לעשות זאת.

בכל אופן, משפטי האי-שלמות מעוררים בעיה למתמטיקאים רבים, ואני מציע להתייחס אל המסקנה של גדל כמבטאת את מודעותו לה. במאמר קודם על השכל החופשי של האדם גם רמזתי על קיומן של מסקנות לוגיות בדבר עליונות השכל על פני העוצמה של המכונות.

אסיים בציטוט (בתרגום שלי) של משפטי הסיכום במהדורה העדכנית של הספרון "על הוכחת גדל" מאת ארנסט נאגל וג'יימס ניוּמן (2001). "המשפט (משפט האי-שלמות של גדל) אכן מצביע על כך שהמבנה והעוצמה של השכל האנושי הם מורכבים ומתוחכמים הרבה יותר מכל מכונה חסרת חיים שעולה על הדעת. עבודתו זו של גדל היא דוּגמה ראויה לציון למורכבות ולתחכום האלה. זאת הזדמנות, לא לדיכאון או לייאוש, אלא להערכה מחודשת של העוצמות של התבונה היצירתית" (שם, עמ' 113). אין לי מה להוסיף על כך. ולקוראים אציע, לפני שתכתבו את תגובותיכם, קׅראו לפחות את הספרון הזה על הוכחת גדל.

אז איך יש להתמודד עם האי-שלמות של המתמטיקה הפורמלית? גדל קורא למתמטיקאים להרחיב את שיטות ההוכחה הקלאסיות. לצערי, איש עוד לא נענה לקריאה זו.

Facebook
Twitter
LinkedIn
WhatsApp
Email

7 תגובות

    1. לאבי, תודה על הערתך. במאמרי כתבתי במפורש: ״אני טוען שגדל שגה בהסקת״ אז כיצד אתה כתבת שאני תומך בגישתו? תומך או לא זה לא רלבנטי. מנומק או לא זה מה שקובע.

  1. ההשכלה שלי במדעי החברה. מעולם לא שמעתי או נתקלתי בשמות האנשים מהם אתה מביא גישות מדהימות. מעניין אותי אם בכלל באיזה שהיא פקולטה באיזה שהוא מוסד אקדמי מלמדים את הנושאים שאתה מעלה. חבל שמחמיצים כל כך דברים חשובים.

  2. לשירה תודה על תגובתך. מעולם לא שמעת עת קורט גדל???!!

    1. גם אני לא. והתחלתי לשאול חברים ואף אחד לא שמע עליו. ולמרות שלא עשיתי משאל במדגם סטטיסטי תקף, אני מאמין שכמעט אף אחד לא שמע עליו. לכן תודה לך

  3. מבחינתי הנושאים עליהם אתה כותב אולי אינם בצמרת העניין שלי. אבל מבחינת פתיחת הראש והיכרות עם סוגיות שמעולם לא חשבתי אפילו עליהן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

דו כיווני

לא לפחד מהפחד

היכרות עם מנגנון הדיסוננס הקוגניטיבי תוביל לצמיחה

דילוג לתוכן