סדר ואי-סדר אינם הופכיים זה לזה – הייתכן?

מסתבר שהגבול בין סדר לאי-סדר אינו ברור
תמונה של שפי
פרופסור יהושפט גבעון

אם נתייחס אל המאמצים המושקעים במחקר מדעי ובפיתוחים טכנולוגיים (שהם יישומים של הידע המדעי) צריך להכיר בכך שהאדם אוהב לגלות סדר גם בתופעות שאינן מסודרות לכאורה. סדר בתופעות מתגלה כאשר מתגלה בהן חוק שמתאר אותן בהצלחה. כך חוקי קפלר חשפו סדר בהתנהגות כוכבי לכת, חוקי הגנטיקה חשפו סדר בהורשת תכונות בבוטניקה וחוקי המכניקה הקוואנטית חשפו את הסדר והמבנה של טבלת היסודות. השימוש במונח "אי-סדר" כשלילת הסדר יוצר מצב שבו הגבול בין סדר לאי-סדר נראה חד וברור. פיתוח תורת הכאוס יוצר מצב שבו לכאוס יש כביכול חוקים, ואז איננו כאוס.

השימוש בביטוי "תורת הכאוס", לאמיתו של דבר, אינו יכול ללמד אותנו דבר, כי יכולנו לכנות את המחקר בתורת הכאוס בשם שאינו מרמז על סדר. כל המנסים לערוך ניסויים וירטואליים בעזרת הדמיות במחשב מנצלים עובדה מתמיהה שלא נוטים לדבר עליה בגלוי: ניתן לייצר הדמיה של אקראיוּת באמצעות נוסחאות אלגבריות לחישובים חד-משמעיים המבוססות על תורת המספרים. כאשר תוכניתנית משתמשת בפונקציה RANDOM – פונקציה הנתונה לשימוש כמעט בכל שפת תכנות – היא מזמינה שימוש באלגוריתם כזה המנצל נוסחאות כאלה, וכך נוסחאות שפעולתן דטרמיניסטית יוצרות סדרות מספרים הדומות מאוד לסדרות אקראיות. במילים אחרות, מתהליכים הבנויים על סדר וחוקיות, אנו יכולים ליצור משהו שמתפקד כאקראיות.

במאמר קודם, על אלן טיורינג, הצגתי תהליך דטרמיניסטי פשוט יחסית שתוצאתו איננה מובנת בכלל (חפשו ברשת את "השערת קולץ'"). הוא מורכב משני תת-תהליכים, האחד של חילוק מספר זוגי ב-2 והשני הוספת 1 למכפלת מספר שאיננו זוגי ב-3. שני תהליכים אלה שזורים זה בזה לפי חוק מפורש ונקבע מראש (בדיקת זוגיות התוצאה) ובכל זאת אין אנו יודעים מה קורה לתהליך המורכב כאשר הוא מיושם על מספר שלם וחיובי כלשהו השונה מ-1. אם נשתמש בתהליך הזה ביצירת סדרות של מספרים טבעיים (שלמים וחיוביים) נקבל סדרות ללא סדר לכאורה (עד שתיפתר השערת קולץ'). למשל אם ניקח עבור כל מספר שנפעיל עליו את התהליך את מספר הצעדים שנדרשים כדי לקבל את המספר 1, נקבל את הסדרה: 0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 21. כל עוד היא סופית ניתן לחשב את איבריה באמצעות פולינום (ממעלה 8, לכל היותר, השווה למספר איבריה פחות 1). אבל הבעיה למצוא נוסחה מתמטית פשוטה לחישוב איברי הסדרה כולה לא נפתרה משנת 1937 ועד היום. ההשערה הבלתי פתורה של קולץ' – שהתהליך תמיד מוביל אותנו אל המספר 1 – ממחישה כיצד חוקיות פשוטה למדי יכולה להגדיר תופעה לא סדורה. סדר יוצר אי-סדר. 

בכיוון ההפוך, קיימים תהליכים אקראיים שיוצרים תבניות סדורות מאוד. הראשון נלמד בכל קורס לתורת ההסתברות ברמה אוניברסיטאית. הוא נקרא "המחט של בופון". קחו מלבן גדול המצויר על גבי גיליון נייר המונח על הרצפה וחלקו אותו לפסים מקבילים בעלי רוחב קבוע, נניח 5 ס"מ. קחו קיסם שאורכו הוא בדיוק 5 ס"מ והטילו אותו באופן אקראי על גבי המלבן. מנו בכמה פעמים הקיסם נחת על גבי המלבן מבלי לגעת בגבולות הפסים ובכמה פעמים הוא נפל כשהוא נוגע בגבול של פס כלשהו במלבן. הבעיה היא לחשב את ההסתברות שהקיסם ייגע בגבול של פס או יחתוך אותו? חישוב פשוט יחסית (דורש חישוב של אינטגרל של פונקציית הקוסינוס מ-0 ועד π/2) מראה שבמקרה שלנו פונקציית הקוסינוס ההסתברות היא בדיוק 2 חלקי π. כלומר בתהליך אקראי של הטלת הקיסם אפשר לחשב גדלים מספריים כמו את הערך של π. מאי-סדר יצרנו משהו סדיר לגמרי. זאת דוגמה שהובאה לידיעת הציבור בשנת 1733 כדוגמה ראשונה לתהליכי חישוב הסתברותיים. מאז התגלו אלגוריתמים הסתברותיים ואמינים רבים, כולל אלגוריתם לבדיקה מהירה אם מספר מסוים הוא ראשוני או לא ראשוני.

הנה דוגמה ויזואלית יותר ליצירת מבנה סדור מתהליכים אקראיים: בחרו במישור שלוש נקודות קרובות יחסית זו לזו כרצונכם. בחרתם במשולש אקראי, נכון? בחרו נקודה רביעית כנקודת התחלה לתהליך במקום כלשהו בתוך המשולש. התהליך הוא חזרה במספר רב של פעמים על השלב הבא: בחרו באופן אקראי באחד מקודקודי המשולש ומיצאו את הנקודה הנמצאת בחצי המרחק בין הקודקוד שבחרתם ובין נקודת ההתחלה, ושרטטו אותה. בשלב הבא, כאשר הנקודה ששרטטתם תחליף את נקודת ההתחלה, חיזרו על השלב הזה, שוב ושוב, מספר רב של פעמים. שפת תכנות שמאפשרת תכנות גרפי תאפשר לכם לעשות זאת בקלות. או חפשו ברשת "משחקי כאוס"…

מכל מקום, אנו מגלים שפעולות מסודרות היטב יכולות ליצור אקראיוּת ופעולות אקראיוֹת יכולות ליצור מבנים מפתיעים אך מסודרים מאוד. אז צמד הביטויים "סדר" ו"אי-סדר" יכול להטעות אותנו. אם סדר יכול ליצור אי-סדר ואי-סדר יכול ליצור סדר, מה הם גבולות הסדר ואי-הסדר?

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

9 תגובות

  1. חידוד שכל מעניין. אבל אני לא מצליח לראות מה התועלת המעשית בקביעות האלה

  2. הייתי אומרת שהגבולות מתחילות ונגמרות ביכולת השליטה. בסופו של דבר מדע הוא שליטה. אם אפשר לנבא בודאות וכתוצאה מכך להשתלט על תופעה לפחות מבחינת צפייתה המדוייקת או אפילו להתערב בה, זה הגבול בין הסדר (שליטה) לבין הכאוס.

  3. הגבול הוא בשכל של הבן אדם, הוא גם ככה נמצא באי של סדר אבל הוא משוכנע שהוא באי סדר, בקיצר הגבול נקבע על ידי הצופה, המפרש, המתרגם, והאדיוט, ותמיד המכנה המשותף הרדוד ביותר בהסכמה על הסדר המקובל ירים ראש, כי הוא הרוב ביניהם.

    1. לניר, תודה על תגובתך,
      שאני מבין ממנה שאתה טוען שכל התוצאות של התהליכים המתמטיים שתיארתי (כולל פונקציית ה-RANDOM שמופעלת במחשבים שלנו) ממוקמים בשכל שלנו. וזה אומר שערכם המציאותי של כל הניסויים המתבצעים באמצעות הדמיות ממוחשבות נקבעים "בהסכמה על הסדר המקובל". נדמה לי שזה הפוסט מודרניזם שהרעיל את החשיבה בימינו שמרים את ראשו בדבריך..

  4. קיבלתי. אז מה החוקים והמודלים והסדר שלפיהם מתנהל אי הסדר והבלגן במדינה כעת?

  5. לשמחה,
    תודה על הערתך. ייתכן שיש "חוקיות לכל", אבל אין זו מסקנה מהמאמר, אלא שהגבול בין בעל חוקיות ובין חסר חוקיות איננו ברור כלל וכלל.

  6. לרותם תודה על שאלתך,
    1. ראי את תגובתי על דברי רותם.
    2. אני נמנע (עד כה) מלכתוב על סוגיות ודעות פוליטיות והתיאור "מתנהל אי הסדר והבלגן במדינה כעת" הוא דעה פוליטית.
    3. ובכל זאת, בכמה מאמרים קודמים יש רמזים לגבי חוקים הנוגעים לפעילות בסביבת כלים דיגיטליים.

  7. לרותם, תודה על שאלתך.
    1. ראי את תגובתי לדברי רותם.
    2. גם אם גבולות אינם ברורים, אני משתדל – עד כה – שלא לכתוב כאן על סוגיות ועל דעות פוליטיות. "מתנהל אי הסדר והבלגן במדינה כעת" זאת דעה פוליטית.
    3. ובכל זאת, אם תעייני במאמרים קודמים שלי תוכלי למצוא רמז אחד או שניים על גורמי בלגו בסביבת השימוש בכלים הדיגיטליים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של נח

על סף תהום

בקרוב נדע אם אנחנו כבר נמצאים בדיקטטורה

תמונה של אביה

מהפכה או רפורמה?

בליץ החקיקה של לוין ורוטמן יפגע בדמוקרטיה הישראלית