האינסוף: פרדוקס בלתי נמנע או קושי מקרי וזמני?

"האינסוף הוא תהום בל תשוער שלתוכה כל הדברים נעלמים" מרקוס אורליוס (180-121).

בציטטה זו נפתח המבוא לספרו של אלי מאור "האינסוף ומעבר לו: היסטוריה תרבותית של האינסוף" שיצא לאור בשנת 1991. אני ממליץ מאוד על הספר לכל מי שמעוניין להרחיב את הבנתו בהיסטוריה של המושגים המתמטיים. הציטטה מייחסת לאינסוף תכונות כמו של חור שחור.

למושג האינסוף יש רגליים בתחומי עיון והגות רבים. הוא נדון מנקודות מבט שונות ובמשמעויות שונות, אם במיסטיקה ובקבלה ואם במתמטיקה המודרנית. במאמר הזה אתמקד במושג האינסוף כמושג מתמטי הקשור לקבוצות.

האם שמתם לב לעובדה שכל ילד שלומד חשבון נתקל חזיתית בקבוצה אינסופית? ברגע שהילד תפס את טכניקת הספירה (הפקת שמות המספרים, זה אחר זה) כטכניקה בלתי מוגבלת למעשה, הוא יתפוס שמדובר בתהליך אינסופי בפועל. מושג האינסוף המתמטי צמח מעיון בקבוצות מספרים, כמו זו, שאינן סופיות וכבר גלילאו עמד על קושי בהבנתו. גלילאו שם לב לכך שקבוצת המספרים הטבעיים (אלה המתקבלים ממניית קבוצות סופיות דווקא) מכילה חלקים-ממש הדומים לה.

גליליאו שם לב לכך שמתגלות כאן שתי עובדות מתמטיות שאיש לא חלק עליהן:

(1) קבוצת המספרים הזוגיים היא חלק-ממש של קבוצת כל המספרים הטבעיים (ולכן, היא לכאורה, קטנה ממנה);

(2) קבוצת המספרים הזוגיים מייצגת את קבוצת כל המספרים הטבעיים באמצעות היחס n  <~> 2n (ולכן הן קבוצות השוות בגודלן).

ואכן, יש בקבוצת המספרים הטבעיים חלק-ממש (תת-קבוצה-ממש) השונה ממנה והיא דומה לה מכל הבחינות.

אם אינסופיות של קבוצה מבטאת את גודל הקבוצה, ואם קבוצות דומות (באמצעות קיומה של התאמה חד-חד-ערכית בין איבריהן) שווֹת בגודלן זו לזו, אז גלילאו גילה שיש בקבוצת המספרים הטבעיים קבוצה חלקית-ממש השווה לה בגודלה. עובדה זו נחשבה בזמנו של גלילאו (ועד למאה ה-19) כבלתי אפשרית כי חלק-ממש של דבר-מה נחשב תמיד כקטן בגודלו מאותו הדבר-מה, כפי שמבוטא בכלל "השלם גדול מחלקו".

נגענו כאן בשלוש תכונות שונות לכאורה של קבוצות:

(1) קבוצה שאיננה קבוצה סופית ("קבוצה סופית" נקראת כך אם ורק אם קיים מספר טבעי n כך שהקבוצה הנדונה דומה לקבוצת המספרים {1,2, … ,n}, כלומר, מספר איבריה הוא n);

(2) קבוצה שמכילה קבוצה חלקית-ממש שלה הדומה לה על פי יחס חד-חד-ערכי בין כל איבריהן;

(3) קבוצה המכילה קבוצה חלקית הדומה לקבוצת כל המספרים הטבעיים;

והנה התברר ששלוש תכונות אלה הן תכונות השקולות לוגית זו לזו, כלומר כל אחת מהשלוש אם היא מתקיימת, אז מתקיימת כל אחת מהשתיים הנותרות. למשל, אם נתונה קבוצה שאיננה קבוצה סופית (כלומר, בעלת התכונה המוגדרת ב-(1) לעיל), אז ניתן למצוא בה קבוצה חלקית-ממש שדומה לקבוצת כל המספרים טבעיים. כך גילה גליליאו כי בקבוצת כל המספרים הטבעיים יש קבוצות חלקיות-ממש הדומות לקבוצת כל המספרים הטבעיים. כלומר, מושג הגודל איננו תלוי לוגית במושג החלק. הפרדוקס של גליליאו איננו פרדוקס אלא הרגל מחשבתי לא מבוסס. השלם האינסופי אינו חייב להיות "גדול מחלקיו". אם כבר, אז המושגים "שלם", "גדול" ו"חלק" מכילים פרדוקס ולא מושג האינסוף.

בראשית המאה ה-20 פותחה תורת הקבוצות ותוך כדי כך התגלתה כבסיס למתמטיקה כולה מכיוון שמושגי יסוד של המתמטיקה, כמו מושג המספר, מושג הפונקציה ומושג השטח בגיאומטריה, הוגדרו ונחקרו בהצלחה רבה בעזרתה. לעובדה זו תרם רבות הלוגיקן האוסטרי גוטלבּ פרגה.

ברטרנד ראסל (שהזכרתי אותו כמה פעמים במאמרים קודמים, כמו על האמת הסובייקטיבית ועל מדע השכל) גילה בשנת 1900 פרדוקס שפגע ביסודות תורת הקבוצות ועד היום לא נמצא לו פתרון המניח לגמרי את דעתם של הלוגיקנים ושל המתמטיקאים. הפרדוקס הוא יחסית פשוט. תהי S קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן. דוגמה לקבוצה שהיא איבר של עצמה, היא קבוצת כל הישים והמושגים המופשטים, כי היא בעצמה מופשטת. כך גם קבוצת כל הקבוצות. רוב הקבוצות הפשוטות, העולות על דעתנו, אינן איבר של עצמן (למשל, קבוצת כל צבעי הקשת איננה בעצמה צבע ולכן איננה איבר של עצמה, או קבוצת כל המספרים הטבעיים איננה בעצמה מספר טבעי ולכן איננה איבר של עצמה).

השאלה שראסל הטיח במכתב אל גוטלבּ פרגה הייתה: האם S, המוגדרת כקבוצת כל הקבוצות שאינן איברים של עצמן, היא איבר של עצמה או לא? קל יחסית לראות שאם S היא איבר של עצמה אז היא לא איבר של עצמה (כי כל איבריה הם קבוצות שאינן איברים של עצמן) ואם איננה איבר של עצמה אז לפי הגדרתה של S (כקבוצת כל הקבוצות שאינן איברים של עצמן) היא חייבת להיות איבר של עצמה. למרות הפשטות היחסית של הפרדוקס הזה, עד היום לא נמצאה דרך פשוטה ומקובלת על רוב המתמטיקאים כיצד ניתן לפתח את המתמטיקה מבלי לאפשר את קיומו של הפרדוקס הזה. דרך אגב, תוכלו לנסח את הפרדוקס הזה במונחים של תכונות (תכונת כל התכונות שאינן תכונות של עצמן).

עם זאת, המודעות והרגישות ל"בעיית ההכרעה", קרי, "האם תורה מתמטית נתונה מכילה סתירה או לא?", הביאו לידי פיתוח העולם הדיגיטלי, כי בעיות הכרעה כאלה צריכות להיות מוכרעות בדרך שאיננה מוטלת בספק כלשהו. כמו הבעיה, האם יש בתורת הקבוצות או בתורת החשבון סתירה. ואולם, פיתוח הבינה המלאכותית לכאורה סותר את המגמה הזו, כי כל פירות החשיבה שלנו צריכים להיות מוטלים בספק, בזמן שכל הכלים הדיגיטליים אמורים לבצע, לפי הגדרת מושג החישוב, רק תהליכים שאינם מוטלים בספק.