המיפויים ותפקידם במתמטיקה ובמחקר של פיאז'ה

התפיסה החדישה של המבנים בתחומי דעת שונים
תמונה של שפי
פרופסור יהושפט גבעון

מיפויים הם פונקציות, אך לא כל פונקציה היא מיפוי. כדי שפונקציה תהיה מיפוי עליה לקיים כמה תכונות נוספות. עליי להניח שהקוראים יודעים מה זאת פונקציה במתמטיקה, בלוגיקה ובמדעים. פונקציות מוגדרות על קבוצות ואילו מיפויים מוגדרים על מבנים. מבנה מתמטי הוא קבוצה של "עצמים" מתמטיים שמוגדרות בה פעולות או יחסים. העצמים יכולים להיות מספרים, תווים, סדרות שלהם וכדומה. לקבוצת העצמים של מבנה קוראים "הנשא" של המבנה, כאילו היא נושאת אותו. לדוגמה, חבורה היא מבנה. ובצרפת, לפני כמה וכמה שנים, לימדו את תורת החבורות כבר בבית הספר התיכון.

מיפוי של מבנה 1 אל מבנה 2 היא פונקציה מהנשא של מבנה 1 אל הנשא של מבנה 2 ש"מתנהגת יפה" ביחס לפעולות וליחסים המגדירים את מבנה 1 ומבנה 2. היא משקפת את הפעולות והיחסים שבמבנה 1 באמצעות פעולות ויחסים במבנה 2 (אני מאמין שכמה מהקוראים יודעים מה מאפיין טרנספורמציה ליניארית. טרנספורמציה ליניארית היא פונקציה ממרחב וקטורים אחד אל מרחב וקטורים שני ש"מתנהגת יפה" ביחס לפעולת החיבור בין וקטורים ולפעולת כפל בסקלר. היא מיפוי בין מרחבים וקטוריים).

דוגמה נוספת: אם מבנה 1 הוא המספרים הממשיים החיוביים עם פעולת הכפל ומבנה 2 הוא המספרים הממשיים עם פעולת החיבור, אז נוכל להגדיר פונקציה "לוגריתם של", המעתיקה כל מספר ממשי x אל החזקה y של 10 שנותנת את x (כלומר 10y = x) – פונקציה זו "מעבירה את פעולת הכפל" של מבנה 1 לפעולת החיבור של מבנה 2 (כי 10x·10y = 10x+y לכל שני מספרים בנשא של מבנה 1 בדוגמה). העובדה שפונקציה זו היא מיפוי של פעולת הכפל, ועוד מיפוי חד-חד-ערכי, כלומר פונקציה הפיכה (המוכרת כ"אנטילוגוריתם"), הפכה אותה לפונקציה השימושית ביותר במתמטיקה אחרי הפונקציות הטריגונומטריות.

קורט גדל, בעזרת המספוּר שהגדיר (אתרו את הביטוי "מספוּר גדל" ברשת), הראה שאפשר לקודד את כל התורות המתמטיות לקודים דיגיטליים. קידוד זה היה מוצלח והוא הצליח לבנות מקידוד זה את הוכחות משפטי אי-השלמות שלו רק משום שקידוד זה היה לא רק סתם פונקציה אל קבוצת המספרים (הטבעיים) אלא מיפוי חד-ערכי מנוסחאות למספרים. יתרה מזו, הוא הוכיח שכל היחסים המשמעותיים והלוגיים שבין נוסחאות וטענות על נוסחאות (לרבות תכונות משמעותיות של נוסחאות ושל טענות) מקבלות דרך הקידוד משמעות המוגדרת על ידי פונקציות מסוג מיוחד ביחס למספרים. הסוג המיוחד הזה היה, לא פחות ולא יותר, "הפונקציות הרקורסיביות הבסיסיות", שאחרי כן שימשו נקודת מוצא (חלקית) לחיפוש אחר הגדרת החישובים היעילים.

פונקציית הלוגריתם ומספוּר גדל הן דוגמאות מזהירות של מיפויים. בראשית שנות ה-30 של המאה הקודמת, חוקרים צרפתיים במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, החלו לחקור מיפויים. למשל בתורת החבורות, המיפויים בין חבורות נקראו "הומומורפיזמים". לאט לאט התברר שמיפויים אלה ניתנים לחקירה מעמיקה והם, במקרה הכללי, מספקים מידע על מבנים מתמטיים מתוך תכונות של הרכבת המיפויים כפונקציות עם פונקציות ללא התייחסות אל איברי הנשא (אל מה שקורה "בתוך המיפויים כפונקציות"). כך, בד בבד עם דוגמאות אלה, התפתחה באירופה התפיסה שמיפויים הם המושגים הבסיסיים שמהם המתמטיקה כולה ניתנת להגדרה בדרך מאירת עיניים. מי שקידמו תפיסה זו היו בעיקר חברי קבוצת המתמטיקאים הסודית "בורבקי" (שימו לב לאפשרות המשמעות העברית הסותרת לכאורה "בור-בקי"). חברי הקבוצה פרסמו תחת השם "בורבקי" מאמרים וספרים מהפכניים במתמטיקה שכולם הראו כיצד מושג המיפוי ופעולת הרכבת מיפויים – ולא מושג הקבוצה, כפי שנהגו ואולי נוהגים גם כיום – מאפשרים הבנה מקיפה של תורות מתמטיות רבות. לתורה המתמטית שהוצעה על ידי תלמידי בורבקי כמחליפה של תורת הקבוצות בבסיס המתמטיקה קוראים "תורת הקטגוריות". תורה זאת למעשה היא התורה האלגברית של המיפויים, או במינוח לועזי, "התורה האלגברית של המורפיזמים".

למרבה הצער, הגישה של בורבקי לא הצליחה לכבוש את ליבם של רוב המתמטיקאים. חפשו בתכניות הלימודים לתואר ראשון במתמטיקה קורסים ביסודות המתמטיקה שבין תוכניהם כלולה תורת הקטגוריות או חפשו שם קורס הממוקד בתורת הקטגוריות.

אבל פסיכולוג מפורסם מאוד שהשפיע במחקריו המוקדמים על תורות החינוך, פעל במשך שנים רבות לאור האמונה שהתפתחות המתמטיקה כידע של הגזע האנושי חייבת להיות תואמת להתפתחות השכלית האישית שלנו כילדים. לכן בסוף ימיו הוא הקדיש ניסויים רבים להתפתחות תפיסת המיפויים בחשיבה של ילדים. הרי תפיסת המיפויים מייצגת את השלב העדכני ביותר של התפתחות תפיסת יסודות המתמטיקה. על המחקרים האלה תוכלו לקרוא בספר "מורפיזמים וקטגוריות: השוואות והתמרות", שיצא באנגלית ב-1992 בשמו של ז'אן פיאז'ה, החוקר שניהל את הניסויים האלה. את הספר הזה הזמנתי לספריית בית ברל ובמשך שנים הוא היה מוצב על המדף בספרייה מבלי שאף מרצה או תלמיד ישאל אותו. גם במבוא לספר, שנכתב על ידי תלמיד מפורסם של פיאז'ה, סימור פאפרט, הוא הודה למעשה שהתקשה להבין את הספר.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

9 תגובות

  1. בשורה האחרונה – ישאיל את הספר, לא ישאל. אי אפשר לשאול את הספר אבל אפשר להשאילו.

    1. הכינוי המתאים לך כותב התגובה: המעיר שאיננו מאיר
      לידיעתך, מה שכתוב במאמר הוא הנכון! ישאל את הספר, פירושו ייקח את הספר בהשאלה

      1. ליונתן קופל
        העברית שפה דלה יחסית. השורש ש.א.ל. מתכתב עם ASK או QUESTION כמובן בהטיות הדקדוקיות המתאימות.
        המונח BORROW מתכתב (למשל) עם נטילת ספרים מספריה במגמה להחזירם במועד מוסכם.
        המונח בעברית ללוות מתכתב עם BORROW. משום מה מונח עברי זה לא נמצא בשימוש כאשר מדובר בספרים.
        על כן בטעות משתמשים בעברית במונח לשאול כאשר מתייחסים לספרים.
        על כן הערתך במקומה. אולם בעתיד כאשר השפה העברית תמשיך להתפתח יימצא ביטוי יותר מתאים לנטילת ספרים
        מספריה (למשל) מאשר לשאול.

        1. למעיר המאיר – תודה על הערתך המאירה.
          כמובן שטענתך "העברית שפה דלה יחסית" קוממה אותי ואולם אחרי מחשבה הגעתי לרעיון מדוע קל כל כך לטעות ביחס לשפה שבה נכתבו כמעט כל מרכיבי התנ"ך. וכך, מאמר חדש על "העושר הנעלם של השפה העברית" נמצא בתהליכי כתיבה אחרונים. וזאת, בתקופה שבה חשבתי שיבשו מעיינות כתיבתי.. על כך תודתי.
          במאמר הנכתב בימים אלה תמצא גם הסבר מדוע הצעתך להוסיף משמעות למלה "נטילה" איננה פתרון לבעיה. אינני מבין כיצד הוספת משמעות ל"נטילה" תהיה טובה יותר מהוספת משמעות ל"שאילה"?

          1. תודה על התייחסותך. אולם אינני מבין מדוע התקוממת לנוכח הטענה ש"העברית שפה דלה יחסית". אם נשווה עם האנגלית למשל, הרי שבמילונים שונים מופיעות לפחות 250.000 מילים. בשפה העברית מוכרות מעל 40.000 מילים.
            בקשר לשפת התנ"ך שהנך מזכיר – אכן, התנ"ך עשיר במילים ובביטויים. אולם הוא נחתם לפני יותר מ- 1000 שנים כאשר סביבת האדם הייתה פחות מפותחת. החל משיבת ציון בתקופה המודרנית וחידוש השימוש היומיומי בשפה העברית (אליעזר בן יהודה) נוספו לשפה העברית מאות מילים חדשות. תהליך זה נמשך בביתה של האקדמיה ללשון העברית, אשר בוחנת ומאשרת מילים חדשות.
            ובאשר לטענת עורך האתר בעניין המילה "לשאול" – המשמעות הדומיננטית של מילה זו היא להציג שאלה.
            המשמעות של ללוות ספר מספריה שהושתה על מילה זו היא שיבוש לשוני הנובע מדלות השפה. ההנחה היא שגם פגם זה יתוקן בעתיד.
            על כן – אל נא באפך.

            1. אין בלבי שום כעס עליך.
              להיך והודיתי על התייחסותך שהביאה לי תובנה לגבי הדרך שבה אנו מודדים את דלות השפות. הבטחתי לך שאני אכתוב מאמר. אז אמא, קצת סבלנות. אקדים לשלוח את ״כתב היד״ אל העורך….

  2. מאמרים מיוחדים, שעוסקים בנושאים מיוחדים, עם תובנות מיוחדות. אין ברשת הרבה כאלה

  3. תיכנס למחלקה טובה שם
    תתן לסטודנטים לקרוא את המאמר
    ותגלה שרובם ככולם לא הבינו את התובנות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של נח

על סף תהום

בקרוב נדע אם אנחנו כבר נמצאים בדיקטטורה

תמונה של אביה

מהפכה או רפורמה?

בליץ החקיקה של לוין ורוטמן יפגע בדמוקרטיה הישראלית