מה קורה כשמתאהבים בתיאוריה?

אגדות סדרת פיבונאצ'י
תמונה של מר גבעון
פרופסור יהושפט גבעון

במקורות רבים (בספרים, בהרצאות מוקלטות, במצגות) מוצגת סדרת פיבונאצ'י כאותה סדרה אין-סופית של מספרים שלמים וחיוביים המתחילה בזוג 1, 1, ובכל פעם המספר הבא הוא סכום שני המספרים שקדמו לו: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ….

סדרה זו הורכבה על ידי המתמטיקאי ליאונרדו פיבונאצ'י, איש פיזה בן המאה ה-12, כפתרון לשאלה בדבר קצב ההתרבות של ארנבים. לסדרה זו יש תכונות מתמטיות רבות וכתב עת מתמטי הוקדש לה לפרסום מאמרים המציגים תוצאות מחקרים על תכונות אלה (“The Fibonacci Quarterly”). יחד עם מחקרים רציניים, לסדרת זו נדבקה אמונה תפלה בדבר הקשר שלה לטבע, ובפרט למספר עלי הכותרת של הפרחים. חפשו ברשת "מתמטיקה בטבע" ותגלו בעצמכם. אם תערכו חיפוש מדוקדק יותר, תגלו כמה גרסאות של אמונה זו.

מפריע לי מאוד לגלות עד כמה שכיחות הגרסאות השונות של אמונה זו בספרים שונים שנכתבו ובהרצאות שונות שפורסמו על ידי חוקרים מכובדים, בארץ ובחו"ל, ללא ביקורת או הסתייגות. אכן, כמה נהדר כאשר חוקיות מתמטית פשוטה יכולה לתואר את המתרחש בטבע!

הגרסה הנלהבת ביותר של אמונה זו כוללת הצהרה שמספרי עלי הכותרת של פרחים בטבע הם תמיד מספרי פיבונאצ'י, כלומר מספרים שמופיעים בסדרה זו. המסקנה המתבקשת מהצהרה זו היא שאם מספר אינו נכלל בסדרה הזאת, למשל המספר 4, אז לא קיימים פרחים שמספר עלי הכותרת שלהם הוא 4. גרסה פחות נלהבת של אמונה בכוחה של סדרת פיבונאצ'י תטען שמספרי עלי הכותרת של הפרחים בטבע נכללים ברובם, או בדרך כלל, בסדרה זו.

למשל בספר המרתק "המספרים של הטבע", שנכתב על ידי המתמטיקאי והסופר המוכשר איאן סטיוארט, נמצא כתוב (בעמוד 13 ובעמוד 105 בתרגום העברי) שמספר עלי הכותרת "בכמעט כל הפרחים" הוא "אחד מן המספרים" המופיעים בסדרת פיבונאצ'י. גם בספרו "לאלף את האינסוף – סיפורה של המתמטיקה" (בעמ' 71 בתרגום העברי) נמצא גרסה דומה על הופעת הסדרה בטבע, "גם בטבע, בפרט, מספר עלי הכותרת של פרחים רבים הם מספרים בסדרת פיבונאצ'י". גם מריו ליביו בספרו "חיתוך הזהב: קורותיו של מספר מופלא" (בעמודים 119–125 בתרגום העברי) מתוארים קשרים מפתיעים בין תכונות של צמחים לבין סדרת פיבונאצ'י המסוכמים בציטוט שהם "בסך הכול נטייה שכיחה ומרתקת" (שם, עמ' 125).

לדעתי ההתעלמות מהעובדות כשדנים בסדרת פיבונאצ'י קשורה בהתייחסות אל כל מספר שמופיע בסדרה נתונה כבעל תכונות מיוחדות גם מבלי להתייחס אל הסדרה כולה, כאילו יש ממש במושג "מספרי פיבונאצ'י" ללא התייחסות אל הסדרה כולה. התייחסות אל מספרים זוגיים אפשרית ללא התייחסות אל סדרת המספרים השלמים המתחלקים ללא שארית ב-2. זה נכון גם לגבי סדרת המספרים הראשוניים. אך זה איננו מובן מאליו לגבי סדרת מספרים, כמו סדרת פיבונאצ'י. איזו תכונה מאפיינת את המספרים 2 ו-55 כ"מספרי פיבונאצ'י" מבלי להתייחס במפורש לסדרה? האם תוכלו לקבוע אם 89 הוא "מספר פיבונאצ'י" מבלי לבדוק את הסדרה?

יחד עם זאת, התלהבות מתיאוריה מסוימת עד כדי התעלמות מהעובדות איננה מצביעה על פגם חמור. כאשר מטרת התיאוריה היא "תיקון עולם", למשל באמצעות האידיאולוגיה המרקסיסטית, או סתם שינוי המציאות, למשל בשימוש במכשירים ובכלים, אז ברור שהתיאוריה מתארת מציאות רצויה שעדיין איננה קיימת. לכן העובדות הנוכחיות אינן רלוונטיות לגביה. לפיכך גם אין סיבה לבקר פוליטיקאים שמסרבים או שמתקשים לראות את המציאות. מגמת הפוליטיקה היא בדיוק ליצור מציאות השונה מהמציאות הקיימת. בכל המקרים האלה התיאוריה איננה מתארת עובדות אלא שאיפות. אך לא כך פועלת תיאוריה המתארת את הטבע כמציאות קיימת. תיאוריה כזו חייבת לשקף את כל העובדות שבמציאות הקיימת.

כאשר נתייחס אל הצהרות על הקשר של סדרת פיבונאצ'י עם הטבע כאל הצהרות מדעיות נצטרך להתבונן בעובדות. העובדה הפשוטה ביותר היא שסדרת פיבונאצ'י איננה מכילה מספר אחד של עלי כותרת שאופייני למשפחת צמחים חשובה ונפוצה. הבעיה היא שכשבודקים תיאוריה חביבת החוקרים ב"גישה חיובית" אי אפשר לגלות את מה שאין היא מתארת, או מה שאין בה. לכן הגישה המדעית חייבת להיות גם שלילית.

צמחים שלפרחיהם ארבעה עלי כותרת שייכים בדרך כלל למשפחת המצליבים. באתר "צמח השדה" הערך "משפחת המצליבים" פותח במילים האלה: "משפחת המצליבים היא משפחה חשובה של צמחים הכוללת חד־שנתיים, בני שיח ומעט שיחים רב־שנתיים. במשפחה מונים כ-350 סוגי צמחים וכ-3000 מינים. רובם נפוצים בעולם באזורים הממוזגים והקרים של החצי הצפוני של הכדור. זו משפחה נפוצה בארץ ומצויים כאן כ-136 מינים של צמחי בר הנפוצים מצפון הארץ ועד למדבר." כלומר בארץ נוכל למצוא כ-136 מינים של צמחים שפרחיהם מכילים בדיוק ארבעה עלי כותרת.

אכן, כמה מהמספרים המופיעים בסדרת פיבונאצ'י הם מספרים המתגלים בטבע בתחום עלי כותרת של משפחות ספורות של פרחים. יש גם מספרי עלי כותרת המתגלים בטבע שאינם מופיעים בה. הרי ברור שלא כל המספרים המופיעים בה הם מספרים של עלי כותרת של פרחים. זה לא הופך את סדרת פיבונאצ'י למיוחדת במינה יותר מסדרת המספרים הראשוניים. יש כמה מספרים ראשוניים שהם מספרי עלי הכותרת של כמה משפחות של פרחים, וכמה מספרים ראשוניים שכלל אינם מספרי עלי כותרת של פרחים קיימים. לסדרת פיבונאצ'י יש תכונות מתמטיות מיוחדות הראויות לציון ואפילו קשרים אחרים לטבע, אך לא ביחס למספר עלי הכותרת של הפרחים. ההתלהבות מהסדרה מקלקלת את השורה…

ובהקשר אקטואלי יותר, יש גם המאמינים שמספר גרעיני הרימון הוא בדיוק 613, תמיד, כמספר המצוות. עוד תיאוריה אהובה וטעימה שתוכלו לבדוק את אמיתותה בעצמכם בימים אלה ממש. שנה טובה ומתוקה לכם ולכל יקיריכם.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

8 תגובות

  1. מה הקשר בין נוסחת שרדינגר אל הלוטו ואל החתול המת/חי ? האם החלקיקים אינם כמו כדורי ההגרלה? למה בודקים את חוקיות ההגרלה ואת האקראיות המוחלטת רק בעזרת חי בריבוע ולא מוודאים את שקל הכדורים כי זהה הוא? ומדוע מסרבים לייצר קובץ לפי סדר הכדורים היוצא בכל הגרלה ורק יוצרים אקסל מקטן לגדול?

  2. מאמר מפתיע
    הן בנושא
    הן בכתיבה והניסוי
    הן התובנות
    תודה

  3. כמו תמיד מאמר מהנה ומלמד, רציתי לדעת מה תפיסתך אל סדרה/ יחס מתמטי זה אשר מתואר ומופיע בטבע רבות ואף נכתב עליו בספר ״הפרופורציה האלוהית״ של מורו למתמטיקה של ליאונרדו דה וינצ׳י.
    יתר על כן על כך שיחס זה מופיע רבות כדרך ה״יעילה״ ביותר של הטבע או לחילופין ה״יחס״ הכי ״יפה״ עבור העיינים שלנו, האם קיים הסבר רציונאלי ללמה אנו בני אדם ״אוהבים״ לראותו או אפילו להתנהגות האנושית בבורסאות בעולם וכן עוד אינספור תופעות מיוחדות שכאלה בטבע.

  4. זה שמישהו מתאהב (בתיאוריה) לא הופך אותה לנכונה. ההיפך, זה מסמל מעבר מראציו לרגשות.

  5. לעומת הספקות של התיפקוד של סידרת פיבונצ'י בבוטניקה הרי במדעים מדוייקים אין בעיות כאלה והסדרה מתפקדת לפה בגבישים אפריודים.

  6. התרשמתי שיש כמה נושאים שאוהבים לפרסם אותם כאשר עוסקים במתמטיקה פופולארית, אבל כמעט ואין להם זכר בלימוד שיטתי של מתמטיקה, או שהם נלמדים בצורה אחרת לגמרי.

    הרשימה ארוכה: סדרת פיבונאצ'י, יחס הזהב, המשפט האחרון של פרמה, משפטי גדל, סימטריה ועוד. מתוך הרשימה הזו, כבוגר תואר ראשון במתמטיקה השתמשתי רק בסימטריה, וגם בה ההקשר היה אחר לגמרי מזה שמשתמשים בו במדע פופולארי.

    יש לכך סיבות רבות, הנה כמה שהצלחתי לחשוב עליהן:

    1) תחום שהוא בעל חשיבות מתמטית פילוסופית, אבל חסר יישום בשדות מתמטיים שבהם עוסקים רוב אנשי המקצוע (למשל משפטי גדל)

    2) תחום שהיה עיסוק בו בתקופת הרנסאנס, שהשאיר חותם תרבותי, אבל נזנח על ידי מתמטיקאים מודרניים (כמו סדר פיבונאצ'י ויחס הזהב)

    3) צורך לבחור טענות מעניינות מצד אחד ופשוטות להמחשה מצד שני (משפט פרמה, סימטריה).

    עם זאת, יש לציין שחלק מהתחומים במתמטיקה פופוארית אכן משקפים את העיסוק בפועל – לדוגמה השוואת העוצמות בתורת הקבוצות, שהיא אכן טכניקה מקובלת בתחום.

    ואם כבר התאהבות בתאוריה: אני מאמין שהחשיבות של המשפט האחרון של פרמה לחלוטין הוצאה מפרופורציה, והיא דוגמה נוספת להתאהבות בתאוריה.. יותר מדי פעמים אני רואה ברשימות של מתמטיקאים חשובים, יחד עם דקרט, אוקלידס וארכימדס, גם את המתמטיקאי שהוכיח את המשפט הזה (אני אפילו לא זוכר את שמו). זה בסך הכל עוד משפט, ואני אישית מעולם לא השתמשתי בו. אפילו לפרמה עצמו יש הישגים ראויים לציון הרבה מעבר למשפט הזה, שהרי הוא מאבות החדוו"א וההסתברות הקלאסית.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של יאיר

שירה

שיר