כוחה של התבוננות בצורות חזותיות

"בניית עזר" מבהירה תכונות שמגולמות בנתון
צילום של שפי גבעון
פרופסור יהושפט גבעון

הערה מקדימה: המאמר נכתב על סמך ספרו המומלץ של אלי מאור "המשפט הפיתגוראי: היסטוריה של 4,000 שנה" (באנגלית) והאיורים תוכנתו בידי.

בשנת 1927 פרסם מתמטיקאי לא ידוע ושמו אלישע סקוט לוּמיס (1940-1852) ספר על טענתו של פיתגורס ובו מפורטות וממוינות 370 הוכחות למשפט המוכר ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה. בשנת 1940 הוא פרסם מהדורה שנייה. אוצר בלום זה של הוכחות עבור טענה אחת מוכיח את טענתו של גוטלוב פרגה (1925-1848) שהוכחה מתמטית איננה נדרשת רק כדי לשכנע אותנו באמיתוּת של טענה, אלא, ובעיקר, להראות כיצד הרעיונות שמבוטאים בטענה מקושרים אל רעיונות אחרים. במקרה שלנו, כל הוכחה מצביעה על קשרים אחרים שיש לרעיונות מתמטיים שונים עם תכונות המשולשים ישרי-הזווית ותכונות הריבועים שעל צלעותיהם. במקרה הספציפי של משפט פיתגורס, כל הוכחה מבטאת התבוננות אחרת על צורת המשולש (ראו איור 1) ועל הריבועים שבנויים על צלעותיו (ראו איור 2).

 

איור 1: נתון משולש ישר-זווית כלשהו                                                איור 2:  צריך להוכיח כי

                                                                                      סכום שטחי הריבועים הקטנים שווה לשטח הריבוע הגדול

 

בהקבלה חסרת בסיס בין שפות אנוש מילוליות ובין עולם הצורות החזותיות, יש הקוראים למיומנות העיון בצורות "אוריינות חזותית". אין ספק שהספר של לומיס (הניתן להורדה מהרשת) הוא מקור לעדויות רבות לכך שהעוסקים בגיאומטריה חייבים להפגין מיומנות עילאית ביכולתם לראות צורות חזותיות. במאמר זה אציג דוגמה אחת ליכולת זו.

לפי לומיס, ליאונרדו דה-וינצ'י (1519-1452) גילה הוכחה למשפט פיתגורס. הוכחה זו ממחישה את יכולת ההתבוננות שלו בצורות גיאומטריות פשוטות. מה הוא ראה כאשר הוא הסתכל בצורה המוצגת באיור 2? מה אתם יכולים לראות?

כאן נכנס נושא "בניות העזר". בניית עזר היא כל בנייה של תוספת לנתון שהיא וכל תכונותיה נובעות כמסקנה לוגית מן הנתון, תוספת אשר, או כך מקווים, תבהיר לנו תכונות שמגולמות בנתון ומקושרות אל תכונות מה שנדרש להוכיח. בדרך כלל אין סְכֶמה שמפיקה תוספות כאלה בדרך שיטתית. גם אם קיימת סְכֶמה כזו עבור הגיאומטריה האוקלידית, ליאונרדו לא הכיר כזו. באיורים הבאים אציג את צעדיו של ליאונרדו בכיוון הזה. הם מבטאים לא רק יכולת התבוננות אלא גם תעוזה ודמיון.

באיור 3 אפשר להבחין בשתי צורות (כל אחת בת שש צלעות ולכן הן משושים) לא חופפות, אבל מורכבות אך ורק מקטעים החופפים לצלעות המשולש הנתון (איור 1). אף שאינן חופפות, אולי הן שוות שטח?

איור 3                                                                                                                                                איור 4

בניות העזר של ליאונרדו דה וינצ'י

כדי להשיב על שאלה זו, ליאונרדו הוסיף את האלכסונים הגדולים של הצורות (איור 4). כלומר, הוא פירק כל צורה בת שש צלעות (איור 3) לשתיים (איור 4) וכך קיבלנו ארבעה חלקים. המעניין הוא שארבעה חלקים אלה חופפים לחלוטין.

קל לראות ששני החלקים של המשושה התחתון חופפים, בהיותם, כל אחד דמות מראה של השני. אם קשה לכם לראות שכולם חופפים, עיינו בשני החלקים של המשושה העליון. כל חלק, על ידי סיבוב ב-900 (העליון נגד כיוון השעון והשני עם כיוון השעון) בבחירה מתאימה של מרכז סיבוב (בקצות היתר של המשולש), עובר אל אותו חלק של המשושה התחתון (הצורה בת שש הצלעות) המכיל את שני הריבועים הקטנים. ועכשיו אפשר להסיק ששני המשושים הם בעלי שטחים שווים ומכאן נובע (בהתבוננות נוספת) שסכום שטחי הריבועים הקטנים שווה לשטח הריבוע הגדול. בזאת מסתיימת ההוכחה של ליאונרדו דה וינצ'י.

כפי שציינתי, לומיס הציג למעלה מ-300 הוכחות שונות למשפט פיתגורס. היו אלה הוכחות שהתגלו במשך אלפי שנים על ידי אנשים ממעגלים חברתיים שונים ושנבדלו בהסתכלות שלהם על משולש ישר-זווית. להלן שלוש דוגמאות נוספות. בין אנשים אלה נמצא כמובן את אוקלידס (365 לפנה"ס – 275 לפנה"ס) אבי הגישה האקסיומטית, שהציג בספרו "היסודות" הוכחה למשפט פיתגורס הנסמכת על בניות עזר מעניינות ומאלפות. ג'יימס גרפילד (1881-1831) מצא בשנת 1876 הוכחה הנסמכת על בניית עזר פשוטה ביותר, ובשנת 1881 נבחר להיות הנשיא ה-20 של ארה"ב, ובאותה שנה נרצח בידי מתנקש תימהוני. אן קונדיט, תלמידת תיכון בת 16 במדינת אינדיאנה שבארה"ב, גילתה בשנת 1938 הוכחה הנסמכת על בניות עזר המרוכזות בנקודה אחת, כולן על מרכז היתר של המשולש הנתון.

אין ספק שהיקף היכולת להתבוננות בצורות חזותיות, מומחש להפליא בתחום הגיאומטריה. מזה אני מסיק שיש חשיבות מיוחדת להוראת הגיאומטריה כחלק מההשכלה הכללית, כדרך לפיתוח יכולת ההתבוננות האישית של כלל התלמידים. מסקנה זו איננה מקובלת כיום על מתווי המדיניות החינוכית בישראל ולא על רבים מהאחראים לתוכניות הכשרה בתחומים חזותיים שונים.

 

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

2 תגובות

  1. היכן במערכת החינוך מלמדים לעומק כמו שהסבברת כאן?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של סטיב

מי ישלם את מחיר?

בעקבות הימלטות האסירים ולקראת התייעלות מערכתית