האם מספר זה סימן?

שוב ושוב אני נתקל באנשי חינוך והוראה שמאמינים שמספרים הם סימנים, ואני מתקשה לשכנע אותם שמדובר בישויות מסוגים שונים ונבדלים. בכמה מאמרים קודמים ניסיתי לשכנע את הקוראים שזיהוי מספר עם הסימן שמייצג אותו הוא שגוי לחלוטין, ועדיין אני מתקשה לשכנע אתכם שהמספר אפס אינו יכול להיות זהה לספרה '0'. קראו כמה מתגובות הקוראים למאמרים הקודמים שבהם הסוגיה הזו נדונה ותיווכחו עד כמה הזיהוי הזה נפוץ בקרב חוגים רבים.

אם מספר הוא סימן אז סימנים שונים הם מספרים שונים. נחזור אל סימני האפס הנהוגים בשפתנו כיום. הנה, המלה 'אפס' מסמנת את האפס, אבל גם הסימן '0' מסמן אותה ישות. אפשר לשאול: כיצד יודעים אנו מתי שני סימנים שונים מסמנים אותה ישות? למשל מתי הביטוי '1-1' והביטוי '2-2' מסמנים אותה ישות? ואפשר לשאול שאלות מורכבות יותר ולנצל את מכמני שפת החשבון כדי להצביע על שני סימנים מורכבים שמסמנים אותה ישות. לאמיתו של דבר, אפשר להגדיר את החשבון כמקור האמצעים והשיטות שמאפשרים לנו לקבוע מתי שני סימונים חשבוניים מסמנים אותה ישות. אנו עושים זאת בכל משימה חשבונית מבלי לדעת בעצם שעל זה בדיוק אנו מדברים. עלינו רק לשלוט בכללי החשבון המאפשרים לנו לשנות סימונים מבלי שתוכנם הטמיר והנעלם ישתנה. אפשר להגדיר את החשבון כתורת השינויים המבוצעים על סימונים מבלי לשנות את זהות המסומנים.

אם מספר הוא סימן אז במה עוסק החשבון? אם '3' הוא סימן שמסמן את המספר שלוש, איך אנו יודעים את מה הוא מסמן? אז לא פתרנו מאומה ולא הגדרנו מאומה בהצהרה שמספר הוא סימן, אלא אם נגדיר גם את מה הוא מסמן. נהוג להצהיר שהוא מסמן כמות. אז מה זאת כמות? מספר, כמובן. אז מה הגדרנו?

ייתכן מאוד שכאשר מתחילים ללמוד את החשבון אין ברירה אלא להאמין שהכמות הנספרת או הנמנית מוצגת ממש בסימון שלה. מציגים לילד את הספרה '3' בפעם הראשונה (בפעילות למידה, כי במציאות הסימן הזה הוצג בפניו אלפי פעמים קודם לכן) וקוראים בקול "שלוש" ולא מבלבלים את הילד בניסיונות כושלים להגדיר מה זה שלוש. כך אנו עושים בהצגת בני אדם, אם במרחב הפיזיקלי ואם בתמונות: "הנה אמא!".

במקום לפתור את הקושי בזיהוי ישיר של מהות הכמויות באמצעות הצהרות לא מדויקות, צריך לפתח את יכולת הילד בהפעלת פעולות על סימונים מורכבים, בתשומת לב הולכת וגדלה לכך שהפעולות המתבצעות אינן משנות את המסומנים והן מושא ההתעניינות הראוי. אלו הן פעולות שינוי בעלות "גרעין" של שמוּרוֹת (אינוואריאנטות) שאינן משתנות.

אז מהו המספר אפס? אפשר לטעון שהוא כלל התהליכים על סימונים אפשריים שיכולים לסמן את האפס. זאת קבוצה גדולה מאוד של "תרגילים על תרגילים", וצריך לפתח את הגישה אל קבוצה זו בהדרגה. ילדים קטנים אוהבים להתמודד עם משימת פיתוח זו ביחס לסימונים פשוטים מאוד. קיימים משחקים מרתקים המנצלים את התשוקה הטבעית של הילדים לחפש נעלמים (פני אמא, מחבואים ועוד) והעוזרים לפתח את יכולת ההתמודדות עם הכרת הקבוצה הזאת. מי שמצליח, מבטיח את כניסתו אל עולם המדע ויישומיו.

המתמטיקאים ניסו למצוא לקבוצה זו בסיס פשוט יחסית ואכן הוא נמצא. למתמטיקאים יש ניסיון מוצלח ופורה בגילוי בסיסים לתחומי ידע הממוקדים בתהליכי שינוי עם שמוּרוֹת. במקרים רבים, לפרטים המגדירים בסיסים כאלה קוראים "אקסיומות". עיינו באקסיומות של הגיאומטריה. מושגי הנקודה והקו אינם מוגדרים כמונחים בשפת הגיאומטריה, אלא כישויות המתוארות והמאופיינות באקסיומות.

בעקבות דיונים של כמה מתמטיקאים (גרסמן, פירס, דדקינד וקרונקר) במהות מושג המספר בשנת 1869 פרסם פיאנו אקסיומות שנוסחו כדי לאפיין את יסודות החשבון באמצעות תכונות של פעולה אחת על המספרים הטבעיים, שניתן לייצגה כפעולה פשוטה על סדרה של שמות מייצגים למספרים אלה. זאת פעולת העוקב, שממנה ניתן להגדיר את כל פעולות החשבון, בלי יוצא מן הכלל. קרונקר הוא שהכריז באותם ימים כי "אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה האדם". ואכן חיש מהרה גילו המתמטיקאים שכל המתמטיקה נובעת מיסודות החשבון.

תגלית זאת מצביעה על משקל האחריות של למידה נכונה והוראה מתאימה של יסודות החשבון, כי בצעדים הראשונים בחשבון מסתתרת המתמטיקה כולה ואפשר לגלות בעזרתם גם את יסודות מדעי המחשב. לכן השיקולים האלה, המתוארים במאמרים על נבכי החשבון, אף שאינם מתייחסים במפורש אל חוויית הקניות במכולת, הם בעלי חשיבות מעשית עילאית.