והמספרים עצמם, היכן הם ומה טבעם?

המגע הראשון והברור שיש לנו עם המספרים הוא באמצעות שמותיהם. בכל החישובים אנו משתמשים רק בביטויים שמייצגים מספרים כישויות הניתנות לייצוג מלא על ידי תווים. גם אם נגדיר מספר כתוצאה של מנייה של איברים בקבוצה כלשהי, נקבל מילה, כאשר תהליך המנייה הוא תהליך מוסכם של התאמה של שמות של מספרים הנוצרים בתהליך הספירה, אל איברים בקבוצה הנתונה. בכל שימוש של החשבון אנו נתקלים תחילה בשמות של מספרים, ומתעוררת השאלה, כיצד עוברים משם של מספר אל המספר עצמו? במאמרים הקודמים פרשׂתי את התכונות של שמות המספרים המתגלות בשפה העברית. כלומר הראיתי בעצם שאין דרך ללמד את הלשון העברית מבלי ללמד את יסודות החשבון. ועדיין, ללא קשר לשפה האנושית שבה אנו מדברים, מתעוררת בעיה עקרונית ביחס למה ששמות המספרים מייצגים.

טימותי גוֹורס בספרו המאלף "מתמטיקה: מבוא קצר מאוד" (בהוצאת ידיעות אחרונות, ספרי חמד, 2007: עמ' 32–40) ניסה להסביר לנו כי המתמטיקאים עצמם לא הגיעו לכלל הסכמה בדבר מהות המספר. לא לשווא הצהיר המתמטיקאי קרונקר בן המאה ה-19 ש"אלוהים יצר את המספרים הטבעיים וכל היתר נבנה על-ידי האדם" (המספרים הטבעיים הם המספרים השלמים הלא שליליים).

כל פתרון שהוצע כדי להגדיר את מהות המספרים, משאיר אותנו תקועים מול קושי מהותי בהבנת מהות זו. בספרי לימוד חדשים לחשבון נוטים להגדיר כל מספר כקבוצה של קבוצות. ראו דוגמה בספרו של פרופ' רז קופרמן, "מתמטיקה של בית ספר יסודי: לגלות מחדש, להבין, ללמד ולאהוב, חלק א" (בהוצאת מעלות הוצאת ספרים בע"מ, 2011: עמ' 12-9). הגדרה כזו אינה מוציאה אותנו מעולם הישויות שמהותן אינה ברורה לנו. היא מעבירה אותנו לתחום בעייתי מאוד כמו תורת הקבוצות. וחמור מזה, מושג המספר המוגדר כך הוא מושג לא יציב. לדוגמה המספר הנקרא "שלוש" מוגדר בדרך זו כקבוצת כל השלשות, מבלי לשים לב שקבוצה זו משתנה בלי הרף. הקבוצות המכילות בדיוק שלושה איברים משתנות בלי הרף. ולכן לפי הגדרה כזו המספר 3 הידוע לנו היום איננו זהה למספר 3 שנדע מחר. ואיך נדע שמה שידענו ביחס למספר 3 נשאר בתוקפו אף שהמספר עצמו השתנה? אם נגדיר את המספר 3 כ"קבוצת כל השלשות האפשריות שהיו, שתהיינה ושיכולות עקרונית להיות", רק נחריף את הבעיה, כי המספר 3, שאמור להיות מושג בבהירות על ידי תלמידי בית הספר, מתערפל לחלוטין.

גוֹורס מציע להתגבר על הבעיה של הגדרת מושג המספר בדרך זו: "חוקי השימוש הם כל מה שחשוב מעשית לגבי מספרים ועצמים מתמטיים אחרים" (בספרו הנ"ל, עמ' 47). כמו כלי משחק, המספרים אינם מוגדרים לפי הרכבם אלא לפי תפקודם ב"משחק החשבון". חוקי תפקוד המספרים הטבעיים סוכמו על ידי ג'וזפה פיאנו בשנת 1839, במערכת המוכרת של "אקסיומות פיאנו". אלא שפחות ממאה שנים אחר כך נפלה עלינו תגלית חשובה של אמיל פוסט ושל קורט גדל. שניהם הוכיחו שכללי הבנייה והניסוח של חוקי השימוש האפשריים במספרים הפשוטים ביותר – המספרים הטבעיים – אינם ניתנים למיצוי סדיר ולניסוח שלם באמצעות כללים טקסטואליים כתובים. בפרט, פוסט וגדל הוכיחו שכל מערכת של טענות הכוללת ניסוח של אקסיומות פיאנו, או שהיא מכילה סתירה, ואז היא חסרת ערך שימושי, או שניתן לנסח בה אמיתות שאינן ניתנות להוכחה בה. יתרה מזו, לא ניתן למצוא שיטה שתבדוק אם מערכת שכזו מכילה סתירה או לא. למצב שהוכיחו פוסט וגדל קוראים "אי-שלמוּת".

כפי שדיווח אלאסדייר אורקוהרט (Alasdair Urquhart) בפרק "אמיל פוסט", במדריך לתולדות הלוגיקה בעריכת דב גבאי וג'ון וודס (2008, עמ' 456), פוסט הצהיר בלהט רב, "המסקנה היא בלתי נמנעת, שאפילו עבור גוף קבוע כזה של טענות מתמטיות, חשיבה מתמטית היא, וחייבת להישאר, יצירתית מיסודה." אז איך נצפה שילדים ישתלטו על ידיעת החשבון כאשר מדובר במהויות שאינן מוגדרות במישרין, וכללי השימוש בהן עלולים להכיל סתירה או שהאמת עליהן איננה ברורה, ובכל מקרה תלויה ביצירתיות שלנו?

למרות החשש הזה, ראוי לציין שהילדים ברחבי העולם מראים שהם יכולים להשתלט על ידיעה מעשית של התחביר של שפת הדיבור של הוריהם ללא כל השכלה בבלשנות ובחוקיה. סביר לקוות שבדומה לכך, חשיפה עשירה לתופעות החשבון כמו לתכנים שתוארו במאמריי האחרונים, תאפשר לילדים להגיע לתפישה אינטואיטיבית של מושג המספר ושל ידיעת החשבון באותה רמת הצלחה שהם משיגים בתפישת התחביר של שפת האם שלהם. אבל משום מה זה לא קורה. ילדים רבים מדי מתקשים בהבנת החשבון. אף שבגיל הרך רובם אינם נרתעים מלימוד יסודות החשבון ואפילו נהנים ממנו, בדרך מסתורית אנו מבלבלים אותם וחונקים את יכולת החשיבה היצירתית שלהם בגיל בית הספר, דווקא ביחס למושגי החשבון.

כדאי להבין שמבחינה לוגית כל תוצאות אי-השלמוּת של פוסט ושל גדל חלות על האמת המבוטאת בכל מסגרת שמאפשרת ביטוי לכללי היסוד של החשבון. לאור הפרטים שתוארו במאמריי הקודמים, הלשון העברית היא מסגרת כזו. פירושו של דבר, כל מערכת שמנסה להתמודד עם מושג מבוסס כלשהו של אמת והמתבססת על השפה העברית ללא מגבלות או חסמים חיצוניים, תאפשר לנסח באמצעותה את כללי היסוד של החשבון ותהיה פתוחה לכל הקשיים המוּבְנים בתוך מערכת החשבון. כלומר לא יהיה ניתן להכריע אם יש בה סתירות או לא, ובמקרה שהיא חפה מסתירות, היא תהיה לא שלמה. בכל מקרה של עיון במערכת מילולית, שבה אנו נתקלים בקשיים מטרידים, כדאי לבדוק אם במקרה המערכת שלפנינו מבוססת על טקסטים מילוליים, ללא כללי הגבלה חיצוניים וללא מתן הכשר ברור לשיקולי דעת יצירתיים.