חשבון ואלגוריתמים לפני המצאת ספרות

במאה ה-8 גילה אל-ח'וואריזמי שניתן, בעזרת הספרות ההודיות, לבצע חשבון (1) על טקסטים מיוחדים, (2) בלי מחשבה, אלא רק על ידי פעולות טקסטואליות מנותקות מתוכן, (3) פעולות הממוקדות לוקלית בנקודה אחת בטקסט, בכל שלב של הפעולה, כשהיא (4) מנותקת לחלוטין מההקשר שלה והיא עצמה (5) ניתנת להגדרה על ידי טקסטים. תגלית זו התגבשה למושג האלגוריתם בראשית המאה ה-20. בכל אלגוריתם תוכלו לגלות את חמש התכונות המיוחדות האלה, גם אם נוטים להסתירן.

למשל התהליך הידוע כ"אלגוריתם של אוקלידס" לחישוב המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של שני מספרים שלמים כלשהם, שפורט אלף שנה לפני אל-ח'וואריזמי, מובא לעיתים קרובות כדוגמה לאלגוריתם קדום. אך תהליך זה אינו מתאים להדגמת מושג האלגוריתם מכיוון שלא הודגשו בו התכונות האלה. התהליך האוקלידי לא מתואר כמתבצע על שמות של מספרים, אלא על המספרים עצמם. לעומתו, במאה ה-3 בערך הוצע תיאור של אלגוריתם פשוט בארמית המסתמך על תכונות שמות המספרים שהוסברו במאמריי הקודמים. לכן הבנת האלגוריתם הזה חשובה ביותר להבנת מושג האלגוריתם ולכן ראוי ללמד גם עליו בכל קורס של יסודות מדעי המחשב ואפשר ללמד אותו, בעברית קלה, בכיתה ד'.

בתלמוד במסכת עבודה זרה דף ט' עמ' ב' נקרא את הדברים האלה: "אמר רב הונא בריה דרב יהושע האי מאן דלא ידע כמה שני בשבוע הוא עומד ניטפי חד שתא ונחשוב כללי ביובלי ופרטי בשבועי ונשקל ממאה תרי ונשדי אפרטי ונחשובינהו לפרטי בשבועי וידע כמה שני בשבוע וסימניך (בראשית מה) כי זה שנתיים הרעב בקרב הארץ."

בעברית נתרגם ונעבד זאת כך: מי שאינו יודע באיזו שנה הוא נמצא ביחס לשנת השמיטה, יפחית שנה אחת ממניין השנים שעברו מאז החורבן (בהנחה שידוע לכולנו מה מניין השנים), ויהיה בידיו מניין שנים משנת שמיטה ידועה (שנת אחת לחורבן הבית השני), וימשיך ויחשב כך: יחסר את המאות מהמניין (של השנים משנת השמיטה הידועה) ויוסיף על כל מאה שהחסיר שתיים למה שנותר, ועתה ייקח את התוצאה ויחשב את השארית בחלוקה בשבע שלה, וידע כמה שנים הוא עומד בשמיטה.

לדוגמה אם מדובר בשנת ב' אלפים ה' מאות ול"ז שנים לחורבן (2,537), יש לחסר שנה אחת, כדי לקבל את מניין שנים מאז שנת שמיטה ידועה, וממניין זה לבטל את כל המאות. כך נקבל שלושים ושש. נוסיף לשלושים ושש חמישים (שהם פעמיים מספר המאות שסילקנו, כלומר פעמיים עשרים וחמש) ונקבל שמונים ושש. ממספר זה נחשב את השארית בחלוקה בשבע ("ונחשובינהו לפרטי בשבועי") שהיא שתיים, כי שמונים ושש הם שמונים וארבע ועוד שתיים. ונדע כי אנו עומדים בשנה השנייה לשנת השמיטה, או, שנת השמיטה הבאה תחול בעוד חמש שנים.

שיטה זו מבוססת על הבנת מחזורי שנים ביחס לשנות השמיטה כשארית בחלוקה (ב-7), ועל תכונות השארית. מקומה של שנה נתונה במסגרת שנות השמיטה הוא השארית בחלוקה ב-7 של מניין השנים של אותה שנה נתונה החל משנת שמיטה מאומתת כלשהי. מה שרב הונא תיאר, כמצוטט לעיל, הוא שיטה לחישוב "השארית בחלוקה ב-7" באמצעות פעולות הניתנות בקלות רבה להגדרה באמצעות פעולות פשוטות על טקסטים: מעבר משם מספר אל הקודם לו; פירוק שם המספר למאות ולשארית ממאות; בדיקת השארית בחלוקה ב-7 של מספר הקטן ממאה (בעזרת טבלה הדומה לטבלת המאה) וכיוצא בזה. כל הפעולות האלה ניתנות להגדרה כפעולות על טקסטים וכל תופעות לוח השנה מבוססות למעשה על שאריות בחלוקה ב-7. תורת השאריות היא חלק חשוב של תורת המספרים.

תורת השאריות, הנקראת גם "אריתמטיקה מודולרית", פותחה על ידי גדול המתמטיקאים קרל פרידריך גאוס (1777–1855). טבעי אפוא שגאוס התעניין במבנים הלוגיים של לוחות השנה השונים. גאוס אפיין את הלוח העברי כלוח הטוב ביותר להתחשבות בתנועת הירח – כדי שהחודשים יתחילו תמיד לפי מופעי הירח – יחד עם התחשבות בעונות השנה, כדי שכל שנה תתחיל תמיד בסתיו וכל פסח יחול באביב, בסטייה קטנה ככל האפשר. הלוח העברי מבוסס על תיקונים פשוטים הניתנים ליישום על ידי חישובים פשוטים, בטווח מחזור חיים אנושי, כלומר במחזוריות כוללת הקטנה מ-100 שנים.

הבעיה בבניית לוח שנה על סמך פשרה פרקטית בין תנועת השמש ותנועת הירח יחסית לכדור הארץ, הטרידה גם את היוונים וקודם לכן את המצרים. הפתרונות שהם הציעו התבססו על תצפיות אסטרונומיות מדויקות, אך על הוספת ימים מיוחדים בשנה. ההערה על גאוס מבוססת על הרצאה של פרופ' אברהם הלוי פרנקל ז"ל שנכחתי בה בקורס "פרקים בתולדות המתמטיקה" בשנות ה-50 של המאה הקודמת במחלקה למתמטיקה באוניברסיטה העברית.

על סמך כל הפרטים המוסברים במאמריי על "החשבון בנבכי הלשון" באתר JOKOPOST, אפשר לראות כיצד הלשון העברית מאפשרת ביצוע חישובים פשוטים ללא שימוש בתווים חשבוניים מיוחדים, חישובים המאופיינים כיום במפורש כתהליכים אלגוריתמיים. יתרה מזו, אפשר גם להיווכח כיצד המצאת הכתיבה הספרתית על סמך בסיס עשר ניתנת להיגזר טבעית מעיון בשמות המספרים בשפה העברית. במילים אחרות, תרגום שם מספר בעברית לייצוגו הספרתי ניתן לביצוע בתהליך אלגוריתמי פשוט. לסיכום, הוראת הלשון העברית כהלכה יכולה לספק תשתית טובה ללימוד החשבון ומדעי החישובים גם יחד.