מתי התחילו להשתמש בבסיס העשרוני?

בסדרת מאמרים זו אדון בשפה העברית כדי לחשוף קשר מפתיע בין החשבון הבסיסי ובין השפה העברית, בחלק העוסק בספירה ובמנייה. קשר זה עמוק מסתם רמז והוא מסביר, כפי שאתאר בהמשך, את הכישורים המתמטיים של חז"ל שבאו לידי ביטוי מאות שנים לפני המצאת הסְפרות.

אנו רגילים להתייחס אל ידיעת השפה כנבדלת מידיעת החשבון, כי אנו מזהים את ידיעת השפה עם התבטאות באמצעות מילים ואילו ידיעת החשבון נחשבת כמתחילה מידיעת השימוש בספרות ובסימנים. הסְפרות הומצאו בערך במאה ה-6 לספירה, כלומר בפער זמנים נרחב בין התפתחות השפה והכתב ובין המצאת הסְפרות. אבל אם נבדוק את התפתחות ידיעת השפה אצל ילדים ואת התפתחות הכישורים החשבוניים שלהם, נוכל לגלות ששתי התפתחויות אלה מתחילות ממש במקביל. בחינוך הממוסד שאנו מספקים לילדינו אנו מבדילים בין ידיעת החשבון לידיעת השפה בתחילת הלימודים בבית הספר, מכיתה א' ואפילו עוד בגן.

המסר המועבר במנהג שכזה הוא שאין מתמטיקה ללא שימוש בסימנים המיוחדים לה, כאילו, אין חשבון ללא שימוש בסימנים המיוחדים לחשבון. עיון בתולדות המתמטיקה יחשוף שפרקים חשובים שלה נכתבו שנים רבות לפני גילוי הספרות והשימוש בהן. לעומת זאת, עיון בכמה שפות יגלה, שהמספרים מיוצגים בהן כתופעה לשונית. בשפות רבות יש ביטוי למספרים בלשון עצמה. התופעה הזו התגלתה כבר בשוּמר העתיקה.

ניצני המתמטיקה בשוּמר העתיקה: מושג המספר

בתקשורת חזותית אנו נוהגים לייצג ריבוי של עצמים על ידי חזרה על הצגת עצמים מייצגים במספר המתאים. לעומת זאת, בלשון כמו בשומר העתיקה או כמו בעברית, המספרים עצמם מוצגים באמצעות שמות מספרים המוגדרים בשפה ומופיעים בנבדל מייצוג העצמים הנמנים. לדוגמה, אם נרצה לייצג שני הרים, לא נאמר "הר-הר" (כמו ביפנית) אלא נאמר תחילה "שני" ואחר כך נאמר "הרים". כלומר אנו מציירים שני הרים, אך אומרים, או כותבים, את הביטוי המורכב "שני הרים" – תחילה "שני" ואחר כך "הרים". גישה כזו יושמה בשוּמר העתיקה, אלפי שנה לפני המצאת סימני סְפרות החשבון המיוחדים.

 כמה פרקים מפוארים של המתמטיקה ויישומיה שנכתבו לפני המצאת הספרות:

• בסביבות 400 לפני הספירה ממציאים תאלס ואויקליד את הגיאומטריה הדדוקטיבית (המבוססת על הוכחות) ומשתמשים בשפת דיאגרמות מיוחדת לניסוח מבוקר של הוכחות. אתם יכולים לקרוא על תפקיד הדיאגרמות בכתביהם בספר "הקודקס של ארכימדס: הסיפור המרתק על כתב-היד המדעי החשוב בעולם" מאת רויאל נץ וויליאם נואל (הוצאת ידיעות ספרים, 2007).
• בסביבות 300 לפני הספירה מפתחים תלמידי אסכולת הסטואה את הלוגיקה הפסוקית שבסוף המאה ה-19 תשמש לביסוס יסודות המתמטיקה.
• בשנת 270 לפני הספירה מפרסם דיופנטס מחקר מעמיק של פתרון משוואות המוכרות היום כמשוואות דיופנטיות.
• בסביבות 200 לפני הספירה מפתח ארכימדס את הפיזיקה המתמטית, מגלה את הקבוצות האינסופיות ומעצב כמה מרעיונות החשבון האינפיניטסימלי.

ואצלנו, במאה ה-3 לספירה, כלומר, 300 שנים לפני המצאת הייצוג הספרתי העשרוני, חז"ל מגבשים את עקרונות הלוח העברי ומגלים אלגוריתמים לפתירת בעיות שונות הקשורות בלוח העברי. מאוחר יותר מתמטיקאים דגולים, כמו אל-ח'וואריזמי וקארל גאוס, חקרו את הלוח העברי כאובייקט מתמטי, כדי לגלות את צפונותיו, את "סוד העיבור".

בניית שמות המספרים בעברית כתהליך הרכבה מיוחד:

שמות המספרים בשפה העברית מתפקדים, בראש ובראשונה, כמו בכל שפה, בתהליך הספירה, זהו תהליך בניית סדרת שמות המספרים. בשפה העברית מתגלה תהליך זה ביצירת ביטויים המורכבים משמות מספרים קודמים בשיטה חישובית מסוימת. אם נעקוב אחרי בניית השמות האלה (ולו רק בשינויים במספר המילים הנדרש להרכבתם) נגלה מחזוריות של 10, של 100 ושל 1000. ואכן, השיטה העשרונית מתגלה בשמות אלה כפי שהם מופיעים בתנ"ך בגרסתו העברית, למרות החופש הפואטי המתגלה בהם. בספר בראשית פרק ה' נמצא עשרות שמות של מספרים שנכתבו, כל אחד, ב"כיוון עולה": "שלושים ומאת שנים", "חמש ומאת שנה", "שבע שנים ושמונה מאות שנה", "שתים עשרה שנה ותשע מאות שנה", ועוד כהנה וכהנה. והנה במקרה אחר, באותו פרק, כאשר מסופר לנו "ויהיו כל-ימי אדם אשר חי", נאמר "תשע מאות ושלושים שנה", כלומר, בכיוון "יורד", בדיוק כפי שאנו נוהגים כיום. גם על שרה אימנו נאמר "ויהיו חיי שרה מאה שנה ועשרים ושבע שנים" (בראשית כ"ג, א').

שתי השיטות העשרוניות הפשוטות האלה באות לידי שימוש במקומות רבים בתנ"ך. העובדה הגלויה היא שהשתמשו בכמה שיטות להרכבת שמות של מספרים, כי אם נעיין בדקדקנות, נמצא אפילו תערובת מפתיעה של שתי השיטות הפשוטות בביטוי אחד, כמו למשל "שְנים וששים אלף ושבע מאות" (במדבר א', ל"ט) או, "ויהיו פיקודיהם, שלושה וארבעים אלף ושבע מאות ושלושים" (במדבר כ"ו, ז').

מתגלה כאן אפוא תופעה מפתיעה המשותפת לכל הביטויים הארכאיים האלה. מאות שנים לפני המצאת הספרות העשרוניות, שיטת ההרכבה של שמות המספרים בעברית, הייתה מבוססת על זיהוי הגדלים המופיעים בסדרות שאורכן מוגדר לפי עקרונות השיטה העשרונית, על מה שנקרא "בסיס העשר". אם תבנו את "טבלת המאה" בשיטה חכמה, תגלו עד כמה משולבת השיטה העשרונית בשמות המספרים שבשפה העברית הקדומה. פרטים על המבנה הלשוני הזה, שניתן להמשיך ולהרחיב אותו לממדים נוספים, יוסברו במאמר הבא.