חידות חשיבה (38)

ביקור חוזר בממלכת המספרים
תמונה של יצחק
ד"ר יצחק קאופמן

(1) רשמו על דף חמישה מספרים טבעיים (כלומר שלמים חיוביים) כלשהם. המספרים לא חייבים להיות שונים. שימו לב שתמיד יהיו שלושה מתוכם שסכומם מתחלק ב- 3 בלי שארית. הסבירו מדוע.

(2) שני אנשים משתתפים במשחק. כל אחד בתורו רושם מספר שלם. המספר הראשון חייב להיות אחד המספרים מ- 1 עד 10 וכל מספר שנרשם בהמשך חייב להיות גדול מקודמו ב- 1 לפחות ולא יותר מאשר ב- 10. המנצח הוא הראשון שרושם את המספר 40.

האם לדעתכם יכול אחד מהשניים להבטיח את ניצחונו? אם כן, הראו כיצד.

 

רמזים (אם אתם זקוקים להם):

(1) חלקו את חמשת המספרים לקבוצות לפי השארית שמתקבלת כשמחלקים אותם ל- 3.

(2) המנצח יהיה זה שיאלץ את היריב לרשום מספר שממנו ניתן להגיע ל- 40 בתור יחיד. רמז נוסף תוכלו למצוא בפתרון של חידה מס' 12.

 

פתרון:

(1) כל מספר טבעי חייב להשתייך לאחת משלוש הקבוצות הבאות:

א' – מספרים שמתחלקים ב- 3 בלי שארית, כלומר עם שארית 0.

ב' – מספרים שמתחלקים ב- 3 עם שארית 1.

ג' – מספרים שמתחלקים ב- 3 עם שארית 2.

 

נזכיר את הכלל הבא: סכום של כמה מספרים מתחלק ב- 3 בלי שארית רק אם סכום השאריות שלהם מתחלק ב- 3 בלי שארית.

 

כשבוחרים חמישה מספרים טבעיים כלשהם קיימות שתי אפשרויות:

אפשרות I – מבין החמישה יש שלושה (או יותר) באותה קבוצה. אם השלושה הם בקבוצה א' אזי סכום השאריות שלהם הוא 0, אם השלושה הם בקבוצה ב' אזי סכום השאריות שלהם הוא 3 ואם השלושה הם בקבוצה ג' אזי סכום השאריות שלהם הוא 6. על סמך הכלל שרשמנו, הסכום של שלושה מספרים מאותה קבוצה מתחלק ב- 3 בלי שארית.

אפשרות II – מבין החמישה יש פחות משלושה בכל אחת מהקבוצות. במקרה זה יש בהכרח שתי קבוצות שבכל אחת מהן שני מספרים וקבוצה אחת שבה מספר יחיד. אם נבחר עתה שלושה מספרים, אחד מכל קבוצה, אזי סכום השאריות שלהם יהיה 0 ועוד 1 ועוד 2, כלומר 3. על סמך הכלל שרשמנו, הסכום של שלושת המספרים האלה מתחלק ב- 3 בלי שארית.

 

 

(2) נכנה את מי שמשחק ראשון בשם א' ואת מי שמשחק שני בשם ב'.

נראה כי א' יכול להבטיח את ניצחונו. נעשה זאת באמצעות "הליכה אחורה" מהסוף להתחלה.

א' רוצה לרשום 40. הוא יכול לרשום זאת רק אם ב' רשם לפניו מספר כלשהו בין 30 ל- 39.

ב' נאלץ לרשום מספר בין 30 ל- 39 רק אם א' רשם לפניו 29.

א' יכול לרשום 29 רק אם ב' רשם לפניו מספר כלשהו בין 19 ל- 28.

ב' נאלץ לרשום מספר בין 19 ל- 28 רק אם א' רשם לפניו 18.

א' יכול לרשום 18 רק אם ב' רשם לפניו מספר כלשהו בין 8 ל- 17.

ב' נאלץ לרשום מספר בין 8 ל- 17 רק אם א' רשם לפניו 7.

המסקנה היא שהמנצח הוא א'. עליו לרשום בהתחלה את המספר 7 ובהמשך עליו לרשום 18, 29 ולבסוף 40. במילים אחרות, א' מתחיל במספר 7 ולאחר מכן עליו לדאוג לכך שהוא וב' ביחד מגדילים את המספר בקפיצות של 11. זה מבטיח לא' שהוא זה שירשום 40.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

3 תגובות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

מייצג כסאות

רות הישראלית

תובנות אקטואליות מקריאה ישראלית במגילת רות

מהי שחיתות?

הגיגים על מה שמתרחש אצלנו בצמרת ההנהגה

מדביר מועך חרק

הדברת נמלים

למה כדאי לעשות את זה בצורה מקצועית?