כמה משולשים מקיימים את כל התנאים הבאים:
(1) ההיקף הוא 30 סנטימטר; (2) אורכי הצלעות שונים זה מזה; (3) אורך כל צלע הוא מספר שלם.
רמז (אם אתם זקוקים לו):
השתמשו בתכונה שלפיה סכום אורכיהן של שתי צלעות במשולש גדול מאורך הצלע השלישית.
פתרון:
כל האורכים להלן יהיו בסנטימטרים ונרשום אותם כמספר בלבד.
נשתמש בתכונה הנקראת "אי-שוויון המשולש" ולפיה סכום אורכיהן של שתי צלעות במשולש גדול מאורך הצלע השלישית.
נניח שאורך הצלע הגדולה הוא 15 או יותר. במקרה זה אי-שוויון המשולש לא יכול להתקיים, כי סכום האורכים של שתי הצלעות האחרות חייב להיות גדול מ-15 ואז היקף המשולש גדול מ-30, בניגוד לנתון.
לכן האורך המקסימלי של הצלע הגדולה הוא 14.
נניח שאורך הצלע הגדולה הוא 10 או פחות. במקרה זה אורך כל אחת מהצלעות הקטנות חייב להיות קטן מ-10 ואז היקף המשולש קטן מ-30, בניגוד לנתון.
המסקנה היא שאורך הצלע הגדולה הוא 11, או 12, או 13 או 14.
נבדוק איזה משולשים ייתכנו עם כל אחד מהאורכים הללו.
אם אורך הצלע הגדולה הוא 11 אזי סכום האורכים של שתי הצלעות הקטנות הוא 19 וזה ייתכן רק במשולש שאורכי צלעותיו (9,10,11) (יש לזכור שאורכי הצלעות חייבים להיות שונים).
אם אורך הצלע הגדולה הוא 12 אזי סכום האורכים של שתי הצלעות הקטנות הוא 18 וזה ייתכן רק במשולשים (7,11,12) ו-(8,10,12).
אם אורך הצלע הגדולה הוא 13 אזי סכום האורכים של שתי הצלעות הקטנות הוא 17 וזה ייתכן רק במשולשים (5,12,13), (6,11,13), (7,10,13) ו-(8,9,13).
אם אורך הצלע הגדולה הוא 14 אזי סכום האורכים של שתי הצלעות הקטנות הוא 16 וזה ייתכן רק במשולשים (3,13,14), (4,12,14), (5,11,14), (6,10,14) ו-(7,9,14).
המסקנה היא שיש 12 משולשים המקיימים את תנאי החידה.
2 תגובות
אני ועוד שני סטודנטים נוספים לא ידענו בכלל איך לפתור בלי לקרוא את הפתרון. לדעתי רוב הסטודנטים (לר במגמות מתמטיקה והנדסה) לא היו מצליחים. זה בסדר?
בעקרון, פתרנו את החידה מיד אחרי הרמז