חידה מס' 295

האיור מתאר שני ספינרים. כשמסובבים את המחוג בצורת חץ של א', יש סיכוי של 50 אחוזים לזכות בפרס, וכשמסובבים את המחוג של ב' יש סיכוי של 25 אחוזים לזכות בפרס.

איזו מהאפשרויות הבאות כדאי לבחור כדי להגדיל ככל האפשר את הסיכוי לזכות בפרס?

(1) ניסיון בודד לסובב את א';  (2) שני ניסיונות לסובב את ב';  (3) זה לא משנה.

הערה: הפרס הוא סכום כסף גדול. באפשרות (2), גם אם זוכים בשני הניסיונות, עדיין מקבלים את הפרס פעם אחת בלבד.

רמז (אם אתם זקוקים לו):

במקום לחשב את סיכויי הזכייה בכל אחת מהאפשרויות, כדאי לחשב את סיכויי ההפסד.

פתרון:

במחשבה ראשונה נראה שהתשובה הנכונה היא (3). זאת משום שנדמה שסיבוב אחד עם סיכוי זכייה של 50 אחוזים שקול לשני סיבובים שלכל אחד מהם סיכוי זכייה של 25 אחוזים. אולם זוהי תשובה לא נכונה.

החישוב לגבי ניסיון סיבוב אחד של א' הוא טריוויאלי: הסיכוי לזכות הוא 50 אחוזים והסיכוי להפסיד הוא 50 אחוזים.

לגבי  שני ניסיונות סיבוב של ב' המצב מורכב יותר כי יש בסך הכול ארבעה תרחישים שונים שיכולים לקרות: (1) הפסד בסיבוב הראשון והפסד בסיבוב השני; (2) זכייה בסיבוב הראשון והפסד בסיבוב השני; (3) הפסד בסיבוב הראשון וזכייה בסיבוב השני; (4) זכייה בסיבוב הראשון וזכייה בסיבוב השני (וקבלת הפרס פעם אחת בלבד). אם רוצים לחשב את הסיכוי לזכות, צריך לחשב בנפרד את הסיכויים של תרחישים 2, 3 ו-4, ואז לחבר את כולם ביחד. זה אפשרי, אבל ישנו חישוב פשוט יותר והוא לחשב קודם כול את הסיכוי להפסיד בשני הניסיונות, ואז להחסיר אותו מהשלם (100 אחוזים).

שני ניסיונות הסיבוב של ב' הם בלתי תלויים וידוע שההסתברות להתרחשות שני אירועים בלתי תלויים היא מכפלת ההסתברויות שלהם. הסיכוי להפסיד בכל אחד מהסיבובים של ב' הוא 75 אחוזים. לכן, הסיכוי להפסיד גם בסיבוב הראשון וגם בסיבוב השני הוא מכפלת הסיכויים של כל סיבוב, כלומר (75 אחוזים) כפול (75 אחוזים). מכאן שהסיכוי להפסד בשני הסיבובים הוא 56.25 אחוזים.

הסיכוי לזכות לפחות פעם אחת בספינר ב' שווה ל-100 אחוזים מינוס הסיכוי שקיבלנו עבור הפסד כפול, כלומר הוא שווה ל- 43.75 אחוזים. זאת לעומת סיכוי של 50 אחוזים לזכות בסיבוב בודד של ספינר א'.

המסקנה היא שכדי להגדיל ככל האפשר את הסיכוי לזכות בפרס כדאי לבחור באפשרות (1), כלומר כדאי לבחור בסיבוב בודד של ספינר א'.