התבוננו ב-5 המעגלים שבאיור 1: במעגל מס' 1 מסומנת על ההיקף נקודה אחת, במעגל מס' 2 מסומנות 2 נקודות, במעגל מס' 3 מסומנות 3 נקודות, וכן הלאה. כמו כן, בכל מעגל משורטטים כל הקווים הישרים שמחברים בין כל הנקודות שעליו (קווים אלו נקראים מיתרים). המיתרים מחלקים את המעגל לכמה איזורים שונים.
ניתן לראות שמספר האיזורים במעגל מס' 1 (שבו אין אף מיתר) הוא 1, ומספר האיזורים במעגלים 2, 3, 4 ו-5, בהתאמה, הוא , 2, 4, 8 ו-16. הסדרה 1, 2, 4, 8, 16 היא סדרה מוכרת. אלו הן החזקות של המספר 2.
האם פירוש הדבר שאם נמשיך להגדיל את מספר הנקודות המסומנות על המעגל, מספר האיזורים ימשיך להיות החזקות של 2? במילים אחרות, האם במעגל שעליו 6 נקודות נקבל 32 איזורים?
רמז (אם אתם זקוקים לו):
שרטטו מעגל, סמנו עליו 6 נקודות ושרטטו את כל המיתרים האפשריים.
פתרון:
באיור 2 מסומנות על המעגל 6 נקודות ומשורטטים כל 15 המיתרים האפשריים. מספר האיזורים הסגורים הוא לא 32 אלא 31.
קיימת נוסחה לחישוב מספר האיזורים עבור מספר כלשהו של נקודות. לא נביא אותה כאן אך נציין שהסדרה המתקבלת היא 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562 וכו'. כך, למשל, עבור 30 נקודות מספר האיזורים הוא 27841 ועבור 40 נקודות מספר האיזורים הוא 92171. ברור שהסדרה הזו אינה דומה כלל לסדרת החזקות של 2.
הערות: (1) יש להדגיש שמדובר כאן על המספר המקסימלי של איזורים. ייתכנו מקרים שבהם 3 מיתרים נפגשים באותה נקודה, ואז מספר האיזורים מצטמצם. זה קורה בדרך כלל כאשר מיקום הנקודות על המעגל הוא סימטרי; (2) החידה ידועה בשם "בעיית המעגל של MOSER", על שם המתמטיקאי האוסטרו-קנדי Leo Moser.
3 תגובות
מסובך, לכן מאתגר, לכן טוב
חידת חשיבה חידתית . אהבתי
מודה שהפעם הסתבכתי.