חידות חשיבה (207)

מספרים בריבוע ובחזקה שלישית
תמונה של יצחק
ד"ר יצחק קאופמן

כמה מספרים שלמים מ-1 ועד 10000 אינם ריבוע ואינם חזקה שלישית של מספר שלם?

רמז (אם אתם זקוקים לו)

כדאי להתחיל במניית המספרים שהם ריבוע או חזקה שלישית של מספר שלם.

פתרון

תחילה נדון דווקא במספרים שהם ריבוע או חזקה שלישית של מספר שלם.

ראשית, נכין את רשימה א' שבה כל המספרים השלמים מ-1 ועד 10000 שהם ריבוע של מספר שלם. ברור שרשימה זו תכיל את 1 בריבוע, 2 בריבוע, 3 בריבוע, וכן הלאה עד 100 בריבוע. אם ננסה להמשיך מעל 100, נראה ש-101 בריבוע כבר גדול מ-10000. המסקנה היא שברשימה א' יש 100 מספרים.

שנית, נכין את רשימה ב' שבה כל המספרים השלמים מ-1 ועד 10000 שהם חזקה שלישית של מספר שלם. ברור שרשימה זו תכיל את 1 בחזקת שלוש, 2 בחזקת שלוש, 3 בחזקת שלוש, וכן הלאה עד 21 בחזקת שלוש. אם ננסה להמשיך מעל 21, נראה ש-22 בחזקת שלוש כבר גדול מ-10000. המסקנה היא שברשימה ב' יש 21 מספרים.

האם עלינו לחבר את רשימות א' וב' ולהסיק שיש 121 מספרים שהם ריבוע או חזקה שלישית? לא ולא. זאת משום שייתכן שיש מספרים שמופיעים הן ברשימה א' והן ברשימה ב', ואז הם ייספרו פעמיים.

מספר שמופיע בשתי הרשימות, כלומר הוא גם ריבוע של מספר שלם וגם חזקה שלישית של מספר שלם (אחר), הוא למעשה חזקה שישית של מספר. זאת משום שהעלאה בריבוע ואחריה העלאה בחזקת שלוש שקולה להעלאה בחזקת שש. לדוגמה, 729 מופיע ברשימה א' כי הוא שווה ל-27 בריבוע, מופיע ברשימה ב' כי הוא שווה ל-9 בחזקת 3, והוא גם שווה ל-3 בחזקת 6.

מכיוון שכך, עלינו להכין את רשימה ג' שבה כל המספרים השלמים מ-1 ועד 10000 שהם חזקה שישית של מספר שלם. ברור שרשימה זו תכיל את 1 בחזקת שש, 2 בחזקת שש, 3 בחזקת שש ו-4 בחזקת שש. אם ננסה להמשיך מעל 4, נראה ש-5 בחזקת שש כבר גדול מ-10000. המסקנה היא שברשימה ג' יש 4 מספרים והם 1, 64, 729 ו-4096.

המסקנה מרשימות א', ב' וג' היא שיש 100 פלוס 21 מינוס 4, כלומר 117 מספרים שלמים שהם ריבוע או חזקה שלישית של מספר שלם. מכאן שיש 9883 מספרים שלמים מ-1 ועד 10000 שאינם ריבוע ושאינם חזקה שלישית של מספר שלם.

Facebook
Twitter
LinkedIn
WhatsApp
Email

3 תגובות

  1. כבר אמרו את זה פה לפחות שני גולשים לפני
    שימו לב
    החידה היא באורך 2 שורות
    הסבר הפתרון עשרות שורות
    זה לדעתי ממש מדליק

  2. ההתמדה שלכם לאורך זמן כה רב מבלי שרמת החידות ירדה, ואולי אפילו עלתה, ראויה לשבח.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של בורוכוב

סיבות לדאגה

סקירה כללית על חברת "אפל" (Apple)

תמונה של מיקי

את כולם, עכשיו!

ממשלת ישראל חייבת לשחרר את החטופים ללא דיחוי

דילוג לתוכן