במדור החידות אני משתדל שלא להיות דידקטי מדי. אבל החלטתי להקדיש חידה למושג "עקומת ההתפלגות הנורמלית" (שנקראת גם "עקומת פעמון" או "עקומת גאוס") שהוא חשוב ומוזכר בהקשר לתחומי חיים שונים.
החידה
למבחן ארצי ניגשו 87,800 תלמידים. התקבלה התפלגות נורמלית של הציונים וסטיית התקן היתה 8. 84 אחוז מהציונים היו נמוכים מ-80. (א) מהו ממוצע הציונים? (ב) בוחרים נבחן אקראי. מה הסיכוי שציונו נמוך מ-56? (ג) כמה תלמידים קיבלו ציון בין 56 ל-80? (ד) הוחלט שהתלמידים שציוניהם היו הגבוהים ביותר יקבלו תעודת הצטיינות והתברר שאלה שזכו לכך היו 2 אחוז מכלל הנבחנים. מה היה הציון הנמוך ביותר שזיכה בתעודת הצטיינות?
הסבר
אם נמדוד, למשל, את הגובה של כל אזרחי ישראל ונצייר גרף שמציג את ההתפלגות שלהם (כמה אנשים יש מכל גובה), נראה שהגרף יהיה גבוה באמצע ונמוך יותר ככל שמתרחקים מהאמצע לשני הכיוונים. זאת משום שרוב האוכלוסייה הוא בגובה שקרוב לממוצע ומספר הגבוהים מאד והנמוכים מאד הוא קטן יחסית. הגרף ייראה כמו פעמון. כך נראים גרפים סטטיסטיים של תופעות רבות.
שני גדלים חשובים שמכתיבים את הצורה של ההתפלגות הנורמלית הם הערך הממוצע שלה אשר נמצא במרכזה, וסטיית התקן שלה אשר מתארת את המרחק של הערכים מן הממוצע. הגודל של סטיית התקן קובע את רוחב העקומה.
באיור הכותרת במאמר מתוארת עקומה של התפלגות נורמלית. אפשר לראות שהגרף הוא סימטרי סביב השיא שמייצג את הממוצע. המשמעות היא שהכי סביר שערך אקראי יימצא בדיוק בממוצע, וככל שמתרחקים מהממוצע הסיכוי יורד. המספרים בציר האופקי מציינים את המרחק מן הממוצע בסטיות תקן שלמות, כלומר המספר 0 מציין את הממוצע עצמו, המספרים בין (מינוס 1) ל-1 מציינים טווח של סטיית תקן אחת מהממוצע, המספרים בין (מינוס 2) ל-2 מציינים טווח של שתי סטיות תקן מהממוצע, וכן הלאה.
אין זה המקום להראות כיצד מחשבים את סטיית התקן, אבל באיור ניתן לראות את משמעותה. רואים כי 68 אחוז מהערכים הנמדדים נמצאים בין (מינוס 1) ל-1, כלומר במרחק של עד סטיית תקן אחת מהממוצע. 96 אחוז מהערכים נמצאים בין (מינוס 2) ל-2, כלומר במרחק של עד 2 סטיות תקן מהממוצע. לדוגמה, אם נתון שבבית ספר מסוים הגובה הממוצע הוא 165 סנטימטר וסטיית התקן היא 4 סנטימטר, אזי 68 אחוז מהתלמידים הם בגבהים שבין 161 ל-169 סנטימטר, ו-96 אחוז מהתלמידים הם בגבהים שבין 157 ל-173 סנטימטר.
פתרון
(א) אם84 אחוז מהציונים נמוכים מ-80 אזי 16 אחוז מהציונים גבוהים (או שווים) מ-80. על פי האיור, 16 אחוז של הציונים הגבוהים הם אלה שנמצאים מימין לסטיית תקן אחת (המספר 1 בציר האופקי), ומכאן שהציון 80 נמצא בדיוק במרחק של סטיית תקן אחת מימין לממוצע. נתון שסטיית התקן היא 8 ומכאן שממוצע הציונים הוא 72.
(ב) לפי סעיף (א) הציון הממוצע הוא 72. הציון 56 נמוך ב-16 מהממוצע, כלומר נמוך מהממוצע בשתי סטיות תקן. על פי האיור, אחוז התלמידים שציונם הוא משמאל לערך (מינוס 2) הוא 2 אחוז. המסקנה היא ש-2 אחוז מהתלמידים קיבלו ציון נמוך מ-56. פירוש הדבר שיש סיכוי של 2 אחוז שהציון של נבחן אקראי שבחרנו הוא נמוך מ-56.
(ג) הציון 56 נמוך ב-16 מהממוצע 72, כלומר נמוך מהממוצע בשתי סטיות תקן. הציון 80 גבוה ב-8 מהממוצע 72, כלומר גבוה מהממוצע בסטיית תקן אחת. על פי האיור, אחוז התלמידים בין (מינוס 2) לבין (פלוס 1) הוא 14 פלוס 34 פלוס 34, כלומר 82 אחוז. למבחן ניגשו בכל הארץ 87,800 תלמידים ומכאן ש-71,996 מהם קיבלו ציון בין 56 ל-80.
(ד) נתון שרק 2 אחוז מהתלמידים, אלה עם הציונים הגבוהים ביותר, קיבלו תעודת הצטיינות. על פי האיור, 2 האחוזים בעלי הציונים הגבוהים ביותר הם אלה שנמצאים מימין לשתי סטיות תקן מהממוצע (המספר 2 בציר האופקי). מכיוון שהציון הממוצע הוא 72 ושתי סטיות תקן הן 16, אזי הציון הנמוך ביותר שקיבל תעודת הצטיינות הוא 88.
4 תגובות
קשה להתרכז כעת בחידות
דווקא כעת זה זמן נכון לנקות קצת את הראש מהזוועות
בידי העורך נמצא מאגר חידות ששלחתי אליו ורק הוא קובע את עיתוי הפרסום. מובן שהחידה נשלחה לפני אסון שמחת תורה.
הרבה לימודית
ושנחזור לעסוק בחידות