הקדמה
החידה מבוססת על סיפור (שאמינותו לא ברורה) בספר "תולדות מלחמת היהודים ברומאים" של יוסף בן מתתיהו (יוספוס פלביוס), היסטוריון ולוחם יהודי. המאורע קרה בשנת 67 לספירה, שלוש שנים לפני חורבן בית המקדש השני. לאחר מצור ממושך כבשו הרומאים את העיר יודפת שבגליל התחתון וצרו על מערה שבה נלכדו יוסף ועוד 40 לוחמים יהודיים. יוסף ניסה לשכנע את הלוחמים להיכנע לרומאים, אך הם סרבו ליפול בשבי. אז הציע יוסף שכולם יתאבדו באופן הבא, מבלי שאף אחד יהרוג את עצמו: הם יסתדרו במעגל, הראשון ידקור למוות את זה שמשמאלו, הבא אחריו שבחיים ידקור את זה שמשמאלו וכך הלאה עם כיוון השעון עד שיישאר רק אדם אחד, והוא היחיד שיצטרך להתאבד בעצמו. הלוחמים קיבלו את הצעתו. מכיוון שיוסף לא התלהב מהרעיון שימות, הוא חישב היכן במעגל עליו לעמוד כך שיישאר האחרון בחיים. תוכניתו הצליחה ובסופו של דבר הגיע תורו להרוג את זה שמשמאלו ולהישאר אחרון, אך הוא חס על חברו ושניהם יצאו מהמערה והסגירו את עצמם לרומאים.
החידה
באיזה מקום במעגל (שהיו בו, כאמור, 41 אנשים) בחר יוסף לעמוד כדי להבטיח שיישאר האחרון בחיים? באיזה מקום היה עליו לעמוד אילו היו במעגל 617 אנשים?
רמז (אם אתם זקוקים לו)
שימו לב שאם מספר העומדים במעגל הוא 2, 4, 8, 16 וכו' (כלומר חזקות של 2), אזי האחרון שנשאר הוא זה שהיה ההורג הראשון, כלומר מספר 1.
פתרון
נראה תחילה מה קורה כאשר יש במעגל 2, 4, 8 ו-16 אנשים. מי שנהרג מסומן בקו נטוי.
ניתן לראות שכאשר מספר האנשים הוא חזקה של 2, האחרון שיישאר הוא זה שהיה ראשון בתחילת התהליך, כלומר מספר 1.
נראה עתה שתי דוגמאות עבור מספר אנשים שאינו חזקה של 2. נתחיל במקרה של 13 אנשים.
המצב ההתחלתי: 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
לאחר 5 ההריגות הראשונות נשארים: 13 12 11 9 7 5 3 1
מספר האנשים שנותרים הוא 8, כלומר חזקה של 2. ראינו למעלה שכאשר מתחילים עם 8 אנשים, מי שיישאר אחרון במעגל הוא זה שהתחיל את תהליך ההריגה, כלומר מספר 1. במקרה שמתחילים עם 13 אנשים מתקבל בסבב ההריגה הראשון מצב עם 8 אנשים, אלא שכאן הבא בתור להרוג הוא לא 1 אלא 11. לכן 11 הוא האחרון שיישאר במעגל. מדוע? הסיבה היא שעד שהתקבל מספר שהוא חזקה של 2 הוצאו מהמעגל 5 אנשים. מכיוון שהאנשים הוצאו בקפיצות של 2, אזי האחרון שהוצא הוא זה שמספרו (5 כפול 2), כלומר 10, ומי שעומד אחריו ותורו להרוג הוא 11. לכן מספר 11 יישאר האחרון במעגל.
הדוגמה השנייה היא של 24 אנשים.
המצב ההתחלתי: 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
לאחר 8 ההריגות הראשונות נשארים: 24 23 22 21 20 19 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1
במצב זה מספר האנשים שנותרו הוא 16, כלומר חזקה של 2. מכיוון שבמצב זה 17 הוא זה שתורו להרוג, הוא זה שיישאר האחרון במעגל. מדוע? הסיבה היא שעד שהתקבל מספר שהוא חזקה של 2 הוצאו מהמעגל 8 אנשים. מכיוון שהאנשים הוצאו בקפיצות של 2, אזי האחרון שהוצא הוא זה שמספרו (8 כפול 2), כלומר 16, ומי שעומד אחריו ותורו להרוג הוא מספר 17. לכן מספר 17 יישאר האחרון במעגל.
נעבור למקרה הכללי. נניח שבהתחלה עומדים במעגל X אנשים ונניח ש-Y הוא חזקה של 2 שהיא הקרובה ביותר (מלמטה) ל-X. במהלך סבב ההריגה הראשון, לאחר שנהרגים (X מינוס Y) אנשים, נשארים במעגל Y אנשים. ברגע זה מי שעומד אחרי ההרוג האחרון הוא האדם שמספרו [2 כפול (X מינוס Y)] פלוס 1, והוא האחרון שיישאר במעגל.
במעגל של יוסף היו 41 אנשים. החזקה של 2 שהיא הקרובה ביותר (מלמטה) ל-41 היא 32. במקרה זה X שווה 41 ו-Y שווה 32. לכן יוסף נעמד במקום [2 כפול (41 מינוס 32]) פלוס 1, כלומר 19, ונשאר האחרון במעגל.
נעבור למעגל שבו 617 אנשים. החזקה של 2 שהיא הקרובה ביותר (מלמטה) ל-617 היא 512. במקרה זה X שווה 617 ו-Y שווה 512. לכן כדי להישאר אחרון במעגל צריך לעמוד במקום [2 כפול (617 מינוס 512)] פלוס 1, כלומר 211.
לסיכום, מי שנמצא במעגל כזה ורוצה להישאר אחרון צריך לפעול באופן הבא:
(א) סופר כמה אנשים יש במעגל וזוכר את המספר הזה כ-X.
(ב) בודק איזה מספר שהוא חזקה של 2 (2, 4, 8, 16 וכו') הוא הקרוב ביותר (מלמטה) ל-X וזוכר את המספר הזה כ-Y. (ג) מחשב את (X מינוס Y), כופל את התשובה ב-2 ומוסיף 1. זהו המקום שבו הוא צריך לעמוד.
3 תגובות
להפעיל את המוח בסוגיות תיאורטיות ולא בקשר ללחצים יומיים שוטפים יש בזה משהו בריא לראש ולנשמה
רק לראות את אורך החידה והסברי הפיתרון, וכבר מבינים כמה היא מסובכת
חידות מחשבה הן כלי טוב להוראה כי הן מסכמות בעצם את כל הנושאים.