בדרכה לבית הספר עוברת נערה גרם מדרגות ובכל פעם היא בוחרת לרדת באופן שונה.
כשהיא דורכת על כל מדרגה שנייה (מדלגת בכל צעד על מדרגה אחת), נשארת לה בסוף מדרגה אחת.
כשהיא דורכת על כל מדרגה שלישית (מדלגת בכל צעד על 2 מדרגות), נשארות לה בסוף 2 מדרגות.
כשהיא דורכת על כל מדרגה רביעית נשארות לה בסוף 3 מדרגות.
כשהיא דורכת על כל מדרגה חמישית נשארות לה בסוף 4 מדרגות.
כשהיא דורכת על כל מדרגה שישית נשארות לה בסוף 5 מדרגות.
כשהיא דורכת על כל מדרגה שביעית לא נשארת לה בסוף אף מדרגה.
כמה מדרגות יש בגרם המדרגות?
רמז (אם אתם זקוקים לו):
צריך לחפש מספר שמתחלק ב-7 ללא שארית, מתחלק ב-6 עם שארית 5 וכו'.
פתרון
תרגום החידה לשפת המספרים הוא שיש למצוא מספר שתכונותיו הן:
(א) מתחלק ב-7 בלי שארית. (ב) מתחלק ב-6 עם שארית 5. (ג) מתחלק ב-5 עם שארית 4.
(ד) מתחלק ב-4 עם שארית 3. (ה) מתחלק ב-3 עם שארית 2. (ו) מתחלק ב-2 עם שארית 1.
המסקנות מתכונות אלה הן:
(1) לפי תכונה א' המספר מתחלק ב-7.
(2) לפי תכונה ו' המספר אי-זוגי.
(3) לפי תכונה ג' ספרת האחדות של המספר היא 4 או 9 כי רק כך חלוקתו ב-5 נותנת שארית 4. אבל כפי שכבר ראינו המספר הוא אי-זוגי ולכן ספרת האחדות היא 9.
עתה ניתן למצוא את המספר באמצעות ניסוי וטעייה. בודקים מי מבין כל המספרים שמתחלקים ב-7, ואשר ספרת האחדות שלהם היא 9, מקיימים את כל התנאים א'-ו'. ברור שכל המספרים האלה מקיימים את תכונה א', את תכונה ג' ואת תכונה ו'. בטבלה הבאה נבדוק את קיום או אי-קיום תכונות ב', ד' וה'. בטבלה מסומן פלוס (+) אם התכונה מתקיימת, ומסומן מינוס (-) אם התכונה לא מתקיימת.
| המספר מתחלק ב-7 וספרת אחדות 9 | תכונה ב' מתחלק ב-6 עם שארית 5 | תכונה ד' מתחלק ב-4 עם שארית 3 | תכונה ה' מתחלק ב-3 עם שארית 2 |
| 49 | – | – | – |
| 119 | + | + | + |
| 189 | – | – | – |
| 259 | – | + | – |
| 329 | + | – | + |
| 399 | – | + | – |
| 469 | – | – | – |
| 539 | + | + | + |
| 609 | – | – | – |
| 679 | – | + | – |
| 749 | + | – | + |
| 819 | – | + | – |
| 889 | – | – | – |
| 959 | + | + | + |
ניתן לראות שמבחינה מתמטית קיימים מספרים רבים שמקיימים את כל התכונות, למשל 119, 539, 959 ועוד מספרים שלא מופיעים בטבלה, ואשר כל אחד מהם מתקבל מקודמו בהוספת 420. מבחינה מעשית נראה שרק 3 המספרים הקטנים ברשימת הפתרונות, כלומר 119, 539 ו-959, הם סבירים כתשובה למספר המדרגות.
5 תגובות
למי שחושב ש-539 או 959 מדרגות הן מספר מוגזם, אספר שאין הדבר כך. כאשר שהיתי בשנת שבתון כחוקר אורח במכון היוקרתי École Polytechnique בפרבר הפריזאי Palaiseau, עליתי (וירדתי) כמעט מדי יום 555 מדרגות מתחנת הרכבת Lozère למכון. למרות הקיץ הפריזאי, שהוא קריר יחסית, זה היה מבצע לא פשוט.
כל פעם אתה מפתיע מחדש.
תודה רבה יצחק על כל חידותיך ותשובותיך המפורטות. עברתי על כל החידות באתרך, בניסיון לפתור אותן כמובן. החידות מסקרנות. ההשקעה שלך לא מובנת מאליה. תודה שוב.
שחר, תודה רבה על תגובתך.
הפעם החידה ארוכה וקצת סיבכה אותי, אבל ההסבר לימד אותי