חידות חשיבה (194)

בתחרות הקפיצה המשולשת ביצעה הקופצת שלושה צעדים – A מטרים, B מטרים ו-C מטרים – כאשר A, B ו-C הם מספרים שלמים ושונים זה מזה. בסיום התברר שהסכום (1 חלקי A) פלוס (1 חלקי B) פלוס (1 חלקי C) הוא המספר המקסימלי האפשרי שהוא קטן מ-1.

לאיזה מרחק קפצה הקופצת?

רמז (אם אתם זקוקים לו):

חצי פלוס שליש פלוס שישית שווה 1.

פתרון:

נסמן ב-S את הסכום (1 חלקי A) פלוס (1 חלקי B) פלוס (1 חלקי C). אנו רוצים ש-S יהיה גדול ככל האפשר, אך עדיין קטן מ-1. ברור שכל הגדלה של A ו/או של B ו/או של C, מקטינה את S.

ראשית, קל לראות שלא ייתכן שאחד הצעדים, A למשל, הוא באורך 1 מטר, כי אז (1 חלקי A) שווה 1 ולא ניתן לקבל S קטן מ-1. פירוש הדבר שכל אחד משלושת הצעדים גדול ממטר אחד.

נניח שאורך הצעדים הוא 2, 3 ו-6 מטרים (במציאות, בדרך כלל הצעד הראשון הוא הארוך ביותר והצעד השלישי הוא הקצר ביותר). נסמן את המקרה הזה כשלָשָה (2,3,6). במקרה זה S שווה חצי פלוס שליש פלוס שישית, כלומר בדיוק 1, ולכן השלשה הזו נפסלת. המסקנה היא שכדי ש-S יהיה קטן מ-1 חייב לפחות אחד הצעדים להיות ארוך או מ-2, או מ-3 או מ-6 מטרים.

אם ננסה להגדיל את הצעד שאורכו 2 לצעד שאורכו 3, כמו למשל בשלשה (3,4,5), אזי נקבל ש-S הוא שליש פלוס רבע פלוס חמישית, כלומר 0.783, וזה נראה רחוק מדי מתחת ל-1. המסקנה היא שהשלשה המבוקשת חייבת להכיל את המספר 2, כלומר אחד הצעדים חייב להיות 2 מטרים.

נותר לנו לחפש את שני הצעדים הנוספים לצעד של 2 מטרים. השלשות (2,3,4), (2,3,5), ו-(2,3,6) הן, כאמור, פסולות. בדיקה של שלשות סמוכות, אשר שומרות על אחד הצעדים שהוא 2 ותוך שאיפה להוריד את S אל מתחת ל-1, אך לא במידה מוגזמת, הן (2,4,6) שנותנת S שווה 0.917, (2,4,5) שנותנת S שווה 0.950 ו-(2,3,7) שנותנת S שווה 0.976 .

מסתבר, אפוא, שהשלשה (2,3,7) נותנת את ה-S המקסימלי האפשרי שעדיין קטן מ-1. מכאן שהמרחק שקפצה הקופצת הוא 7 פלוס 3 פלוס 2, כלומר 12 מטרים.