חידות חשיבה (194)

קפיצה משולשת
תמונה של יצחק
ד"ר יצחק קאופמן

בתחרות הקפיצה המשולשת ביצעה הקופצת שלושה צעדים – A מטרים, B מטרים ו-C מטרים – כאשר A, B ו-C הם מספרים שלמים ושונים זה מזה. בסיום התברר שהסכום (1 חלקי A) פלוס (1 חלקי B) פלוס (1 חלקי C) הוא המספר המקסימלי האפשרי שהוא קטן מ-1.

לאיזה מרחק קפצה הקופצת?

רמז (אם אתם זקוקים לו):

חצי פלוס שליש פלוס שישית שווה 1.

פתרון:

נסמן ב-S את הסכום (1 חלקי A) פלוס (1 חלקי B) פלוס (1 חלקי C). אנו רוצים ש-S יהיה גדול ככל האפשר, אך עדיין קטן מ-1. ברור שכל הגדלה של A ו/או של B ו/או של C, מקטינה את S.

ראשית, קל לראות שלא ייתכן שאחד הצעדים, A למשל, הוא באורך 1 מטר, כי אז (1 חלקי A) שווה 1 ולא ניתן לקבל S קטן מ-1. פירוש הדבר שכל אחד משלושת הצעדים גדול ממטר אחד.

נניח שאורך הצעדים הוא 2, 3 ו-6 מטרים (במציאות, בדרך כלל הצעד הראשון הוא הארוך ביותר והצעד השלישי הוא הקצר ביותר). נסמן את המקרה הזה כשלָשָה (2,3,6). במקרה זה S שווה חצי פלוס שליש פלוס שישית, כלומר בדיוק 1, ולכן השלשה הזו נפסלת. המסקנה היא שכדי ש-S יהיה קטן מ-1 חייב לפחות אחד הצעדים להיות ארוך או מ-2, או מ-3 או מ-6 מטרים.

אם ננסה להגדיל את הצעד שאורכו 2 לצעד שאורכו 3, כמו למשל בשלשה (3,4,5), אזי נקבל ש-S הוא שליש פלוס רבע פלוס חמישית, כלומר 0.783, וזה נראה רחוק מדי מתחת ל-1. המסקנה היא שהשלשה המבוקשת חייבת להכיל את המספר 2, כלומר אחד הצעדים חייב להיות 2 מטרים.

נותר לנו לחפש את שני הצעדים הנוספים לצעד של 2 מטרים. השלשות (2,3,4), (2,3,5), ו-(2,3,6) הן, כאמור, פסולות. בדיקה של שלשות סמוכות, אשר שומרות על אחד הצעדים שהוא 2 ותוך שאיפה להוריד את S אל מתחת ל-1, אך לא במידה מוגזמת, הן (2,4,6) שנותנת S שווה 0.917, (2,4,5) שנותנת S שווה 0.950 ו-(2,3,7) שנותנת S שווה 0.976 .

מסתבר, אפוא, שהשלשה (2,3,7) נותנת את ה-S המקסימלי האפשרי שעדיין קטן מ-1. מכאן שהמרחק שקפצה הקופצת הוא 7 פלוס 3 פלוס 2, כלומר 12 מטרים.

Facebook
Twitter
LinkedIn
WhatsApp
Email

4 תגובות

  1. החידות שלך כמעיין המתגבר
    והכל בלי שאתה חוזר על עצמך
    אתגר לך
    אתגר לפותרים

  2. תרגיל נהדר.
    ברשותך , אביא אותו לכיתות הלימוד, כיתה ח':
    אנסח אותו כמטלת אתגר בשיעור הקרוב. התלמידים ינסו להגיע למספר הקרוב ביותר ל1 אשר קטן ממנו. הכי קרוב מבין חבריהם באמצעות סכום שלושה שברי יחידה ( יחולקו לקבוצות כמובן ).

    הזדמנות להכיר ולחזור על מושגים ,מיומנויות והיבטים מתמטיים רבים כמו שברי יחידה, שטף רעיונות בקבוצה , חיבור וחיבור שברים , קטן מול קטן/שווה, שימוש במחשבון… תרגיל שכולו למידה.
    תודה !

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של יהודה

חופשה נעימה

היעדים של הישראלים היוצאים לחו"ל בפסח ובקיץ

תמונה של עמירם

השלכות

על תכונותיו של אדם בוגר

דילוג לתוכן