בעל אטליז רכש מאזני כפות גדולים ומעוניין לשקול כל מספר שלם של קילוגרמים בין 1 ל-40. אם מותר להניח משקולות על שתי הכפות, מהו המספר המינימלי של משקולות שעליו לרכוש? מהו משקלן של המשקולות הללו?
רמז (אם אתם זקוקים לו):
מספיקות 4 משקולות.
פתרון:
אם מותר להניח משקולות על שתי כפות המאזניים, אזי אפשר לצרף משקולות למוצר שאותו שוקלים. במקרה זה מספיקות 4 משקולות כדי לשקול כל מספר שלם של קילוגרמים בין 1 ל-40. המשקולות הדרושות הן של 1, 3, 9 ו-27 ק"ג. הטבלה הבאה מראה איזה משקולות יש להניח על שתי הכפות כדי לשקול G קילוגרמים. הבשר שנשקל מונח על כף 2. משקולת שמונחת באותה כף ביחד עם המוצר היא לכאורה בעלת ערך שלילי ולכן משקל הבשר הוא משקל המשקולות בכף 1 מינוס משקל המשקולות בכף 2.
| כף 1 | 1 | 3 | 3 | 1,3 | 9 | 9 | 1,9 | 9 |
| כף 2 | – | 1 | – | – | 1,3 | 3 | 3 | 1 |
| G (ק"ג) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| כף 1 | 9 | 1,9 | 3,9 | 3,9 | 1,3,9 | 27 | 27 | 1,27 |
| כף 2 | – | – | 1 | – | – | 1,3,9 | 3,9 | 3,9 |
| G (ק"ג) | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| כף 1 | 27 | 27 | 1,27 | 3,27 | 3,27 | 1,3,27 | 27 | 27 |
| כף 2 | 1,9 | 9 | 9 | 1,9 | 9 | 9 | 1,3 | 3 |
| G (ק"ג) | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| כף 1 | 1,27 | 27 | 27 | 1,27 | 3,27 | 3,27 | 1,3,27 | 9,27 |
| כף 2 | 3 | 1 | – | – | 1 | – | – | 1,3 |
| G (ק"ג) | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
| כף 1 | 9,27 | 1,9,27 | 9,27 | 9,27 | 1,9,27 | 3,9,27 | 3,9,27 | 1,3,9,27 |
| כף 2 | 3 | 3 | 1 | – | – | 1 | – | – |
| G (ק"ג) | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
למעוניינים בהרחבה
באופן כללי, באמצעות (1+n) איברים של הסדרה ההנדסית 1, 3, 9, 27…עד 3 בחזקת n, ניתן לבטא כל מספר שלם שאינו גדול מסכום האיברים, שהוא ½ כפול [3 בחזקת (1+n), מינוס 1]. המקרה בו עסקנו בחידה מתאים לערך 3=n ולכן באמצעות 4 משקולות שמשקלן 1, 3, 9, ו-27 ק"ג ניתן לשקול עד ½ כפול [3 בחזקת 4, מינוס 1] = 40 ק"ג.
5 תגובות
תמיד אחרי שאני קוראת את ההסבר אני מבינה את הפתרון. אבל לא יודעת לפתור לבד בלי ההסבר.
למרות שהחידה כבדה, אהבתי
גם אני
אני מנצל את הבמה להעיר לגבי מכתבך למערכת הארץ בעניין תור לפראיירים:
מן הראוי היה, שתזכיר שהקורס בתורת התורים הועבר ע"י פרופ' (אז ד"ר) דויד מייזלר ז"ל, באוניברסיטה העברית. (גם אני שמעתי אותו, תשל"ב).
לראובן,
פרופ' דויד מייזלר אכן היה מרצה מחונן ואהוב. זכיתי לחוויה מרשימה ביותר בקורס נוסף שלו, "אנליזה קלסית", שזה בעצם "חשבון אינפיניטסימלי מתקדם". עד היום אני שומר את ספר הרצאותיו "חשבון אינפיניטסימלי" שהיה נפוץ בכל האוניברסיטאות בישראל.
אבל מייזלר ראוי לכתבה שמוקדשת רק לו (ייתכן שאעשה זאת בעתיד), ולא לחצי שורה במכתב לעיתון שבו יש מגבלה חריפה על מספר המילים.