מפקד פלוגה שבה 100 חיילים סיים עתודה אקדמית במתמטיקה וידוע בחיבתו למספר 9. הוא מאפשר לחניך התורן לקבוע את מספר החיילים שיצאו לחופשת שבת יום אחד לפני כל השאר. על החניך לבחור באחת משתי האפשרויות הבאות:
(א) 9 חיילים.
(ב) חיילים שההפרש בין המספרים האישיים של כל 2 מהם מתחלק ב-9 (בלי שארית).
כמובן שהחניך התורן מעוניין שלחופשה המוקדמת יצאו כמה שיותר חיילים.
באיזו אפשרות כדאי לו לבחור?
רמז:
חלקו את 100 המספרים האישיים ל-9 קבוצות לפי השארית שמתקבלת כשמחלקים אותם ב-9.
פתרון:
לחניך התורן כדאי לבחור באפשרות (ב). זאת משום שבפלוגה של 100 חיילים ישנם לפחות 12 כאלה שההפרש בין המספרים האישיים של כל 2 מהם מתחלק ב-9 בלי שארית. נוכיח זאת באופן הבא:
נחלק את 100 המספרים האישיים של כל חיילי הפלוגה ל-9 קבוצות:
קבוצה 1: מספרים שמתחלקים ב-9 עם שארית 1.
קבוצה 2: מספרים שמתחלקים ב-9 עם שארית 2.
קבוצה 3: מספרים שמתחלקים ב-9 עם שארית 3.
קבוצה 4: מספרים שמתחלקים ב-9 עם שארית 4.
קבוצה 5: מספרים שמתחלקים ב-9 עם שארית 5.
קבוצה 6: מספרים שמתחלקים ב-9 עם שארית 6.
קבוצה 7: מספרים שמתחלקים ב-9 עם שארית 7.
קבוצה 8: מספרים שמתחלקים ב-9 עם שארית 8.
קבוצה 9: מספרים שמתחלקים ב-9 בלי שארית.
כל אחד מהמספרים האישיים חייב להיכלל באחת הקבוצות.
כשמחלקים 100 מספרים ל-9 קבוצות ברור שלפחות באחת מהן יש 12 מספרים או יותר. כל 2 מספרים בקבוצה זו נותנים אותה שארית כשמחלקים אותם ב-9 ולכן הפרשם מתחלק ב-9 בלי שארית. מכאן שבחירה באפשרות (ב) תאפשר יציאה לחופשה של לפחות 12 חיילים, לעומת יציאה של 9 חיילים שהציע המפקד באפשרות (א).
4 תגובות
כל הכבוד לגיוון של החידות ולעומק ההסברים.
איך לומדים לחבר חידות?
אין תהליך סָדוּר ללמוד זאת. צריך בעיקר לאהוב את התחום וכן לראות חידות רבות. חוץ מזה יש לומר ביושר שלא כל החידות הן פרי מחשבתי. יש חידות שעוברות "מפה לאוזן" ומדור לדור בווריאציות שונות והן "מסתובבות בשטח" ונחשבות כידועות.
הפיצו בכיתה ואהבתי
כעת יש לכם עוד גוש מתמיד במדור