חידות חשיבה (183)

לא יאומן כי יסופר
תמונה של יצחק
ד"ר יצחק קאופמן

בכל פעם שאני אומר את המשפט "כמעט כל המספרים השלמים כוללים את הספרה 7", שומעיי בטוחים שיצאתי מדעתי. לא כך היה כשאמרתי זאת לתלמידיי בפרויקט "תלפיות". תוך דקות ספורות הצביע אחד החניכים, לימים פרופסור מפורסם לפיזיקה, והראה מדוע המשפט נכון.

האם תוכלו גם אתם לעשות זאת?

רמז (אם אתם זקוקים לו):

בדקו כמה מספרים שכוללים את 7 ישנם בין 0 ל-10, בין 0 ל-100, בין 0 ל-1000, וכו'.

פתרון

כידוע, ישנם אינסוף מספרים שלמים שאינם כוללים את 7 ולכן הטענה שכמעט כל המספרים כוללים את הספרה 7 נשמעת מוזרה. הרי מבין המספרים השלמים מ-0 עד 10 רק אחד כולל את 7, מבין המספרים השלמים מ-0 עד 100 רק 19 הם כאלה (וודאו זאת) ומבין המספרים השלמים מ-0 עד 1000 ישנם 271 כאלה (נראה בהמשך) וכן הלאה.

נראה, למשל, כמה מספרים שלמים מ-0 עד 1000 כוללים את 7. לשם כך נרשום כל אחד מהמספרים מ-0 עד 999 באמצעות 3 ספרות, החל מ-000, אחריו 001, אחריו 002 וכך הלאה עד 999. המספרים 6 ו-89, למשל, יירשמו בצורה 006 ו-089, בהתאמה. צורת רישום זו מאפשרת להשתמש בשיקולי הסתברות. לכל אחת מהמקומות במספר בן 3 ספרות – שמאלי, אמצעי וימני – ניתן לבחור כל אחת מ-10 הספרות 0-9 ולכן הכמות הכוללת של המספרים האפשריים היא 10 כפול 10 כפול 10, כלומר 1000. נחשב עתה כמה מ-1000 המספרים הללו אינם כוללים את הספרה 7. במקרה זה אי אפשר לבחור בספרה 7 ולכן יש רק 9 ספרות אפשריות למקום השמאלי, 9 ספרות אפשריות למקום האמצעי ו-9 ספרות אפשריות למקום הימני. לפיכך, כמות המספרים מ-0 עד 1000 שאינם כוללים את הספרה 7 הוא 9 כפול 9 כפול 9, כלומר 729. מכאן שמ-0 עד 1000 יש 271 מספרים שכוללים את 7, כפי שכבר ראינו למעלה.

באופן דומה ניתן להראות שמ-0 עד 10000 ישנם (9 בחזקת 4), כלומר 6561 מספרים שאינם כוללים את 7. במילים אחרות, מ-0 עד 10000 יש 3439 מספרים שכוללים את 7.

אנו רואים, אפוא, שחלקם היחסי של המספרים שכוללים את 7 הולך ועולה ככל שמגדילים את כמות המספרים: 10% מ-0 עד 10, 19% מ-0 עד 100, 27% מ-0 עד 1000, 34% מ-0 עד 10000, וכן הלאה. מבין המספרים מ-0 עד מיליון יש 47% שכוללים את 7, ומבין המספרים מ-0 עד טריליון (12 אפסים) יש 72% שכוללים את 7.

אם ממשיכים להגדיל את כמות המספרים מקבלים שמ-0 עד המספר (1 עם 24 אפסים) יש 92% שכוללים את 7, ומ-0 עד המספר (1 עם 45 אפסים) יש 99% שכוללים את 7. וכן הלאה וכן הלאה.

מסקנה: אכן כמעט כל המספרים השלמים כוללים את הספרה 7.

הערה: הטענה המוזרה כביכול היא נכונה לא רק עבור 7 אלא עבור כל ספרה אחרת.

למעוניינים בהרחבה

ראינו שכמות המספרים מ-0 עד (10 בחזקת N) שאינם כוללים את הספרה 7 הוא (9 בחזקת N). מכאן שכמות המספרים מ-0 עד (10 בחזקת N) שכוללים את הספרה 7 הוא (10 בחזקת N) מינוס (9 בחזקת N).

מכאן שהחלק היחסי של המספרים שכוללים את הספרה 7 הוא:

[ (10 בחזקת N)  מינוס  (9 בחזקת N) ] חלקי (10 בחזקת N), כלומר 1 מינוס (0.9 בחזקת N).

האיבר (0.9 בחזקת (N הולך ונעשה קטן יותר ויותר ככל ש-N גדול יותר, ומכאן שהחלק היחסי של המספרים שכוללים את הספרה 7 הולך ומתקרב ל-1, כלומר הולך ומתקרב ל-100%.

Facebook
Twitter
LinkedIn
WhatsApp
Email

2 תגובות

  1. ארוך ומחייב לכן ריכוז רב בקריאה. ואת כל החידות שלך אני אוהבת.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של גדעון

הזהו ניצחון?

מתי שחרור חטופים על ידי תשלום כופר נחשב "ניצחון?"

תמונה שלניצה

חוקי או לא חוקי

ההתנחלויות ועזה בבית הדין הבין-לאומי לצדק בהאג

דילוג לתוכן