חידות חשיבה (179)

אלי ובתיה מנהלים את השיחה הבאה:

משפט א' – אלי: בחרתי שני מספרים שונים בני ספרה אחת. האם תוכלי לומר מה סכומם?

משפט ב' – בתיה: לא. האם תוכל לתת לי רמז?

משפט ג' – אלי: הספרה הימנית של מכפלתם שווה למספר הבית שלך.

משפט ד' – בתיה: עכשיו אני יודעת מהו סכום המספרים.

מהו סכום שני המספרים שאלי בחר?

רמז (אם אתם זקוקים לו)

בדרך כלל לא ניתן לדעת מהו הסכום של שני מספרים על פי הספרה הימנית של מכפלתם.

פתרון

נסמן את שני המספרים שאלי בחר ב-A ו-B.

נתון ש-A שונה מ-B ושני המספרים הם בני ספרה אחת.

בטבלה הבאה מופיעות כל המכפלות האפשריות של שני המספרים.

החצי התחתון של הטבלה הוא ריק כי הוא סימטרי לחלוטין לחלק העליון. זאת משום ש-A) כפול (B שווה B) כפול (A.

משבצות האלכסון בטבלה מייצגות את המצב שבו A שווה ל-B. אבל נתון בחידה ש-A שונה מ-B ולכן רשמנו בהן X.

נניח שמספר הבית של בתיה הוא 2. כאמור, זו הספרה הימנית במכפלה של A ו-B. אילו היה מספר הבית של בתיה 2, היא לא היתה יכולה לומר במשפט ד' שהיא יודעת לענות על השאלה. זאת משום שיש בטבלה כמה זוגות (B,A) שהספרה הימנית של מכפלתם היא 2 וסכומיהם שונים. לדוגמה בזוג (6,2) המכפלה היא 12 והסכום הוא 8, ואילו בזוג (9,8) המכפלה היא 72 והסכום הוא 17. לכן בתיה לא יכולה להסיק מהו סכום המספרים. מכאן שמספר הבית של בתיה אינו 2 ואפשר למחוק מהטבלה את כל המכפלות שהספרה הימנית בהם היא 2. אלה הם, 12 (פעמיים), 32, 42 ו-72.

באופן דומה ניתן להסיק שמספר הבית של בתיה אינו 3 ואפשר למחוק מהטבלה את כל המכפלות שהספרה הימנית של מכפלתם היא 3. אלה הם 3 ו-63.

באופן דומה אפשר למחוק מהטבלה את המספרים 4, 14, 24 (פעמיים) ו-54.

מאותם שיקולים אפשר למחוק מהטבלה את המספרים 5, 15, 35 ו-45.

מאותם שיקולים אפשר למחוק מהטבלה את המספרים 6 (פעמיים), 16, 36 ו-56.

מאותם שיקולים אפשר למחוק מהטבלה את המספרים 7 ו-27.

מאותם שיקולים אפשר למחוק מהטבלה את המספרים 8 (פעמיים), 18 (פעמיים), 28 ו-48.

מאותם שיקולים אפשר למחוק מהטבלה את המספרים 10, 20, 30 ו-40.

לאחר כל המחיקות נותרו שני מספרים שהספרה הימנית של מכפלתם מתקבלת רק פעם אחת ולכן הם לא נמחקו מהטבלה. אלה הם 9 ו-21.

המכפלה 9 מתקבלת מהזוג (1,9) והמכפלה 21 מתקבלת מהזוג (3,7).

המסקנה היא שאלי בחר בזוג (1,9) או בזוג (3,7). אין לנו שום דרך לדעת איזה זוג הוא בחר, ולכן אין באפשרותנו לדעת אם מספר הבית של בתיה הוא 1 או 9. אבל סכום המספרים בכל אחד משני הזוגות הוא 10 וזהו פתרון החידה.