נתונה קוביית עץ שאורך הצלע שלה 5 ס"מ. צובעים את כל החלק החיצוני שלה (כל 6 הפאות) באדום ואחר כך מנסרים אותה לקוביות קטנות וזהות שאורך הצלע שלהן הוא 1 ס"מ. מתברר שהקוביות הקטנות מתחלקות ל- 4 סוגים: בעלות 3 פאות אדומות, בעלות 2 פאות אדומות, בעלות פאה אדומה אחת ובלי אף פאה אדומה. כמה קוביות יש מכל סוג?
רמז (אם אתם זקוקים לו)
יש להבדיל בין קובייה קטנה שמיקומה (א) בפינה של הקובייה הגדולה; (ב) במקצוע אך לא בפינה; (ג) בפאה אך לא בפינה ולא במקצוע; (ד) בחלק הפנימי של הקובייה.
פתרון
מספר הקוביות הקטנות הוא 5 כפול 5 כפול 5, כלומר 125. הקובייה הגדולה מורכבת מ-5 שכבות של קוביות קטנות, שכל אחת מהן היא בצורת ריבוע שמכיל 25 קוביות. הטבלה הבאה מתארת כל אחת מהשכבות. כל משבצת מייצגת קובייה קטנה והמספר הרשום בה הוא מספר הפאות הצבועות באדום באותה קובייה. ניתן לראות: (א) כל קובייה קטנה שנמצאת בפינה של הקובייה הגדולה היא בעלת 3 פאות צבועות; (ב) נזכיר שמקצוע הוא החלק המשותף ל-2 פאות סמוכות, ולכן כל קובייה קטנה שנמצאת במקצוע של הקובייה הגדולה אך לא בפינה, היא בעלת 2 פאות צבועות; (ג) כל קובייה קטנה שנמצאת באחת הפאות של הקובייה הגדולה אך לא בפינה או במקצוע, היא בעלת פאה צבועה אחת; (ד) כל קובייה קטנה שנמצאת בחלק הפנימי של הקובייה הגדולה ואין לה שום מגע עם שטח הפנים החיצוני, היא בעלת 0 פאות צבועות.
המסקנה מהטבלה היא שיש 8 קוביות קטנות בעלות 3 פאות אדומות, 36 קוביות קטנות בעלות 2 פאות אדומות, 54 קוביות קטנות בעלות פאה אדומה אחת ו- 27 קוביות קטנות בלי אף פאה אדומה.
למעוניינים בהרחבה
ניתן להראות שאם חותכים קובייה צבועה שאורך הצלע שלה N סנטימטר (N גדול מ-1) לקוביות קטנות שאורך הצלע שלהן 1 סנטימטר, אזי החלוקה בין הסוגים השונים היא:
מספר הקוביות הקטנות בעלות 3 פאות צבועות הוא 8.
מספר הקוביות הקטנות בעלות 2 פאות צבועות הוא (2-N) כפול 12.
מספר הקוביות הקטנות בעלות פאה צבועה אחת הוא (2-N) בריבוע כפול 6.
מספר הקוביות הקטנות בלי אף פאה צבועה הוא (2-N) בחזקת 3.
2 תגובות
פתרתי והיפצתי
מאתגר