חידות חשיבה (169)

כמה תהיו מוכנים לשלם?
תמונה של יצחק
ד"ר יצחק קאופמן

לצורך החידה הטלתי 2 קוביות רגילות בו זמנית שוב ושוב, בתחילה 100 פעמים, ואז 1,000 פעמים, ואז 10,000 פעמים ולבסוף 100,000 פעמים. אל דאגה, לא עבדתי קשה. המחשב עשה זאת עבורי. כיצד? רשמתי בגוגל "Roll a die" ומבין האפשרויות בחרתי באתר "rolladie.net". שם בחרתי באפשרות "2 dice 6 sided" (שתי קוביות בנות 6 פאות) וברובריקה "times" בחרתי במספר ההטלות. את תוצאות ההטלות ראיתי כשלחצתי על "Show Stats" (סטטיסטיקה). תוצאות הניסויים מופיעות בסוף הטקסט ומומלץ לראותן רק לאחר שפתרתם את החידה.

החידה

מטילים 2 קוביות בו זמנית שוב ושוב. בכל הטלה מקבלים סכום כסף השווה לסכום צמד הקוביות. לדוגמה, אם התקבל בהטלה 3 ו-5, מקבלים 8 ש"ח.

מהו הסכום המקסימלי שהייתם מוכנים לשלם עבור כל הטלה כדי להרוויח?

רמז

מצאו כמה סכומים אפשריים יכולים להתקבל בהטלת צמד קוביות ומה ההסתברויות של כל אחד מהם.

פתרון

בתורת ההסתברות בודקים כדאיות של הימור בעזרת המושג "תוחלת" (expectancy). אם התוחלת חיובית, ההימור הוא רצוי ויביא לרווח. אם התוחלת שלילית, ההימור לא כדאי ויסתיים בהפסד.

התוחלת היא ממוצע משוקלל של כל התרחישים האפשריים של ההימור, כאשר המשקל של כל תרחיש הוא ההסתברות להתרחשותו.

בזריקת צמד קוביות יכולים להתקבל 36 זוגות של מספרים. נדגיש כי הזוג [2 בקוביה א', 4 בקוביה ב'] שונה מהזוג [4 בקוביה א', 2 בקוביה ב']. הטבלה הבאה מפרטת את כל הזוגות האפשריים ואת ההסתברות לקבל כל אחד מהסכומים שלהם. בטור ה' רשומה התרומה של כל אחד מהערכים לתוחלת הכללית. תרומה זו שווה לסכום הקוביות הרשום בטור א' (שהוא גם הרווח הכספי), כפול ההסתברות לקבל אותו (טור ד').

אבגדה
סכום 2 הקוביות (הרווח הכספי)הצמדים שנותנים את הסכום שבטור א'מספר הצמדים שבטור ב'ההסתברותהתרומה לתוחלת (טור א' כפול טור ד')
21,111/362/36
32,1  1,222/366/36
43,1  2,2  1,333/36  12/36
54,1  3,2  2,3  1,444/36  20/36
65,1  4,2  3,3  2,4  1,555/36  30/36
76,1  5,2  4,3  3,4  2,5  1,666/36  42/36
86,2  5,3  4,4  3,5  2,655/36  40/36
96,3  5,4  4,5  3,644/36  36/36
106,4  5,5  4,633/36  30/36
116,5  5,622/36  22/36
126,611/36  12/36

סכום כל התרומות בטור ה' הוא 252 חלקי 36, כלומר 7, וזוהי התוחלת. המשמעות היא שבכל הטלה אנו צפויים לקבל בממוצע 7 ש"ח. לכן, כדי להרוויח בהימור, נהיה מוכנים לשלם לכל היותר 6.99 ש"ח עבור כל הטלה.

תוצאות הניסויים שביצעתי:

ניסוי א' 100 הטלות – סכום הקוביות הממוצע להטלה היה 6.86 .

ניסוי ב' 1,000 הטלות – סכום הקוביות הממוצע להטלה היה 6.95 .

ניסוי ג' 10,000 הטלות – סכום הקוביות הממוצע להטלה היה 7.00 .

ניסוי ד' 100,000 הטלות – סכום הקוביות הממוצע להטלה היה 6.99 .

ממוצעים אלה משקפים התאמה טובה בין הניסוי לבין החישוב התאורטי.

מכיוון שהסכמתי לשלם 6.99 ש"ח לכל הטלה הרי שבניסוי א' הפסדתי 13 ש"ח, בניסוי ב' הפסדתי 40 ש"ח, בניסוי ג' הרווחתי 100 ש"ח ובניסוי ד' לא הרווחתי ולא הפסדתי.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

3 תגובות

    1. ל- מ. הלשונאי המדופלם
      תכלס באידיש היא תכלית – סופו של דבר
      תוחלת היא צפי – מה צפוי להתקיים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך