חידות חשיבה (166)

גרביים במגירה
גרביים שחורים

מגירה מכילה מספר זהה של גרביים לבנות וגרביים שחורות. מוציאים ממנה בחשכה 2 גרביים אקראיות (גרב אחר גרב). מה הסיכוי לקבל זוג תואם? (א) 50 אחוז. (ב) גדול מ-50 אחוז. (ג) קטן מ-50 אחוז.

הערה: האקדמיה ללשון העברית אישרה להשתמש במילה "גרב" הן בזכר והן בנקבה.

רמז (אם אתם זקוקים לו):

נסו לחשוב על מספר מסוים של גרביים במגירה, למשל 10 גרביים לבנות ו-10 גרביים שחורות.

פתרון:

בהמשך נשתמש במושגים "סיכוי" ו"הסתברות". כידוע, סיכוי של 0% שקול להסתברות 0, סיכוי של 50% שקול להסתברות של 0.5, סיכוי של 100% שקול להסתברות 1 וכו'.

נזכיר שבחישובי הסתברויות ישנם שני כללים שימושיים:

כלל א': גם זה וגם זה – ההסתברות להתרחשות של מאורע א' וגם של מאורע ב' היא מכפלת ההסתברויות שלהם.

כלל ב': זה או זה – ההסתברות להתרחשות של מאורע א' או של מאורע ב' היא סכום ההסתברויות שלהם.

במחשבה ראשונה נראה שהסיכוי לקבל 2 גרביים בצבע זהה, שווה לסיכוי לקבל 2 גרביים בעלות צבע שונה, כלומר הסיכוי לקבל זוג תואם הוא 50 אחוז. אבל כפי שיוסבר, התשובה הנכונה היא (ג), כלומר הסיכוי לקבל זוג תואם הוא קטן מ-50 אחוז.

נסמן את צבע הגרביים שמוציאים מהמגירה בתוך סוגריים כאשר האות הראשונה היא צבע הגרב הראשונה והאות השנייה היא צבע הגרב השנייה. (ל,ל) יסמן גרב ראשונה לבנה וגרב שנייה לבנה, (ש,ל) יסמן גרב ראשונה שחורה וגרב שנייה לבנה, וכדומה.

נניח, למשל, שבמגירה יש 10 גרביים לבנות ו-10 גרביים שחורות. נחשב את הסיכוי ל-(ש,ש). לפני הוצאת הגרב הראשונה יש במגירה 20 גרביים שמתוכן 10 שחורות, ולכן ההסתברות שהגרב הראשונה תהיה שחורה היא (10 חלקי 20). אחרי הוצאת גרב שחורה יש במגירה 19 גרביים שמתוכן 9 שחורות, ולכן ההסתברות שגם הגרב השנייה תהיה שחורה היא (9 חלקי 19). לפי כלל א' (גם הראשונה שחורה וגם השנייה שחורה), ההסתברות ל-(ש,ש) היא (10 חלקי 20) כפול (9 חלקי 19), כלומר (9 חלקי 38).

משיקולי סימטריה בין לבן ושחור, ההסתברות ל-(ל,ל) זהה להסתברות ל-(ש,ש), כלומר גם היא שווה (9 חלקי 38).

לפי כלל ב', ההסתברות להוצאת 2 גרביים באותו צבע היא ההסתברות ל-(ש,ש) פלוס ההסתברות ל-(ל,ל) (כי מדובר על 2 שחורות או 2 לבנות), כלומר (9 חלקי 38) פלוס (9 חלקי 38) שהם (9 חלקי 19), כלומר סיכוי של 47.37 אחוז. זהו סיכוי קטן מ-50 אחוז ולכן התשובה הנכונה לחידה היא (ג).

למרות שפתרנו את החידה נחשב, מתוך סקרנות, גם את הסיכוי להוצאת 2 גרביים שונות בצבען. לשם כך יש לחשב את הסיכויים ל-(ש,ל) ול-(ל,ש). לפני הוצאת הגרב הראשונה יש במגירה 20 גרביים שמתוכן 10 שחורות, ולכן ההסתברות להוציא גרב ראשונה שחורה היא (10 חלקי 20). אחרי הוצאת הגרב השחורה יש במגירה 19 גרביים שמתוכן 10 לבנות, ולכן ההסתברות להוציא גרב שנייה לבנה היא (10 חלקי 19). לפי כלל א', ההסתברות ל-(ש,ל) היא (10 חלקי 20) כפול (10 חלקי 19), כלומר (5 חלקי 19). מטעמי סימטריה, ההסתברות ל-(ל,ש) זהה להסתברות ל-(ש,ל), כלומר גם היא שווה (5 חלקי 19).

לפי כלל ב', ההסתברות להוצאת 2 גרביים שהן שונות בצבען היא ההסתברות ל-(ש,ל) פלוס ההסתברות ל-(ל,ש), כלומר (5 חלקי 19) פלוס (5 חלקי 19) שהם (10 חלקי 19), כלומר סיכוי של 52.63 אחוז.

לסיכום, הסיכוי להוצאת 2 גרביים באותו צבע קטן מ-50 אחוז והסיכוי להוצאת 2 גרביים שונות בצבען גדול מ-50 אחוז.

למעוניינים בהרחבה

באופן כללי אפשר להראות שאם במגירה יש N גרביים שחורות ו-N גרביים לבנות, אזי ההסתברות להוצאת 2 גרביים ראשונות באותו צבע היא

(N מינוס 1)  חלקי [(2 כפול N) מינוס 1] .

זהו מספר שהוא תמיד קטן מ-0.5, אבל ככל ש-N הולך וגדל, הוא הולך ומתקרב ל-0.5 כפי שניתן לראות בטבלה הבאה.

ההסתברות להוצאת 2 גרביים ראשונות שצבען שונה היא

 N חלקי  [(2 כפול N) מינוס 1].

זהו מספר שהוא תמיד גדול מ-0.5, אבל ככל ש-N הולך וגדל, הוא הולך ומתקרב ל-0.5 כפי שניתן לראות בטבלה הבאה.

גרביים במגירההסיכוי באחוזים להוצאת זוג תואםהסיכוי באחוזים להוצאת זוג שאינו תואם
2 שחורות, 2 לבנות33.3366.67
3 שחורות, 3 לבנות40.0060.00
6 שחורות, 6 לבנות45.4554.55
12 שחורות, 12 לבנות47.8352.17
100 שחורות, 100 לבנות49.7550.25
2000 שחורות, 2000 לבנות49.9950.01
שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

2 תגובות

  1. כבר כתבו את זה ואני מצטרף. שימו לב כמה ארוכים ההסברים המדוקדקים לפתרון החידה. אין דברים כאלה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך