חידות חשיבה (165)

ערבוב קלפים
קלפים
צילום: יצחק קאופמן

היום ביקשתי מנכדתי לערבב חפיסת קלפים סטנדרטית של 52 קלפים (כלומר, בלי הג'וקרים) והתקבל סדר הקלפים שמופיע בתמונת הכותרת. היא הופתעה מאד כשאמרתי לה שיש לי ביטחון (כמעט) מוחלט שסידור הקלפים הספציפי הזה התקבל היום בפעם הראשונה בהיסטוריה.

הסבירו מהיכן נובע הביטחון שלי.

רמז (אם אתם זקוקים לו):

חשבו כמה סידורים אפשריים יש לחפיסה של 52 קלפים.

פתרון:

נראה תחילה כמה סידורים אפשריים יש לחפיסה של 52 קלפים. במקום הראשון יכול להיות כל אחד מ-52 הקלפים, במקום השני יכול להיות כל אחד מ-51 הקלפים הנותרים. לפי עקרונות הקומבינטוריקה, אם למקום הראשון יש 52 אפשרויות ולמקום השני יש 51 אפשרויות, אזי בסך הכול יש (52 כפול 51) אפשרויות לבחירת 2 הקלפים הראשונים. שימו לב שגם אם נבחרים אותם 2 קלפים, אך בסדר שונה, הדבר נחשב כשני סידורים שונים. בתמונת הכותרת הקלף הראשון הוא 9 עלה והשני הוא 7 לב. זהו סידור שונה מ-7 לב במקום הראשון ו-9 עלה במקום השני.

מכאן ואילך ממשיכים באותה צורה: במקום השלישי יכול להיות כל אחד מ-50 הקלפים הנותרים, במקום הרביעי יכול להיות כל אחד מ-49 הקלפים הנותרים, וכן הלאה. בסיכומו של דבר מקבלים שמספר הסידורים האפשריים הוא 52 כפול 51 כפול 50 כפול 49 כפול……כפול 3 כפול 2 כפול 1, או בשפה מתמטית 52 עצרת (מסומן !52). המספר הזה הוא

80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000

כלומר, גדול יותר מ-8 שאחריו 67 אפסים. זהו מספר עצום בגודלו. גודל אדיר זה הוא הסיבה לעושר הרב שיש במשחקי הקלפים.

עתה נעריך כמה סידורי קלפים עשו בני האדם מאז המצאת הקלפים. קלפי המשחק הומצאו לפני כ-1900 שנים (בסמוך להמצאת הנייר בסין( וקלפים שדומים עקרונית לקלפים של היום הופיעו לפני כ-800 שנים.

ההערכה הזו תהיה מופרזת עד מאוד. היא תניח שאוכלוסיית העולם היתה 8 מיליארד אנשים (המספר היום, בקירוב) במשך כל התקופה הזו, היא תניח שכל תושבי כדור הארץ לא עשו דבר במשך כל הזמן הזה אלא רק ערבבו קלפים, והיא תניח שכל סידור (ערבוב) כזה אורך שנייה בודדת.

בהנחות אלו המספר של סידורי הקלפים שנעשו ב-1900 השנים שמאז המצאת הקלפים הוא:

1900 כפול 365 כפול 24 כפול 60 כפול 60 כפול 8 מיליארד שווה 479,347,200,000,000,000,000 כלומר פחות מ-5 שאחריו 20 אפסים. זהו מספר זניח בהשוואה למספר האפשרויות הכללי שקיבלנו למעלה. מכאן שהסיכוי לכך שסדר הקלפים שמופיע בתמונה התקבל ב-1900 השנים האחרונות הוא כמעט אפס.

אם במקום 1900 שנים נעריך, באותן הנחות, מהו מספר סידורי הקלפים שנעשו מאז התפתחות האדם המודרני (לפני כ-200 אלף שנים) נקבל בערך 5 שאחריו 22 אפסים. אם נחשב עבור כל הזמן מאז שנוצר כדור הארץ (לפני כ-4.5 מיליארד שנים) נקבל בערך 1 שאחריו 27 אפסים. אם נחשב עבור כל הזמן מאז שנוצר היקום (לפני כ-13.8 מיליארד שנים) נקבל בערך 3 שאחריו 27 אפסים. כל המספרים האלה הם זניחים בהשוואה למספר האפשרויות הכללי. המסקנה היא שהסיכוי שסדר הקלפים בתמונת הכותרת התקבל בעבר הוא זעיר מאד ובעצם שואף לאפס. קרוב מאד לוודאי שהוא התקבל היום בפעם הראשונה בהיסטוריה.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

5 תגובות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך