חידות חשיבה (157)

המבחן בגאומטריה כלל את השאלה הבאה (ראו איור 1 בתמונת הכותרת):

נתון משולש ישר-זווית (כלומר אחת מזוויותיו היא של 90 מעלות) שבו אורך הצלע הגדולה AC (שנקראת יֶתֶר) הוא 10 סנטימטר, ואורך הגובה ליֶתֶר (הקו השבור BD) הוא 6 סנטימטר. מהו שטח המשולש?

להפתעתו של המורה רק 2 תלמידים נתנו תשובה נכונה. ומה התשובה שלכם?

רמז (אם אתם זקוקים לו):

(א) כזכור, שטח משולש שווה לאורך אחת מצלעותיו כפול הגובה לאותה צלע לחלק ל-2.

(ב) אם משולש ישר-זווית חסום בתוך מעגל, אזי הֶיתֶר של המשולש מונח על קוטר המעגל ואורכו שווה לקוטר המעגל.

פתרון:

הרוב המכריע של התלמידים חישב את שטח המשולש לפי סעיף (א) ברמז וקיבל שטח משולש של 30 סנטימטרים רבועים (10 כפול 6 לחלק ל-2).

אבל התשובה הנכונה שנתנו רק 2 תלמידים היא שהמשולש המתואר בחידה אינו יכול להתקיים במציאות. תוכלו להיווכח בכך כשתנסו לצייר במדויק משולש ישר-זווית שבו אורך היֶתֶר הוא 10 סנטימטר ואורך הגובה ליֶתֶר הוא 6 סנטימטר. נוכיח מדוע אין הדבר אפשרי. תחילה נסובב את המשולש שבאיור 1 עד שיגיע למצב המתואר באיור 2.

עתה נשרטט את המעגל החוסם את המשולש (איור 3). לפי סעיף (ב) ברמז, מכיוון שהזווית ABC היא ישרה, אזי הֶיתֶר של המשולש (AC) מונח על קוטר המעגל ואורכו שווה לקוטר המעגל. מכאן שקוטר המעגל 10 סנטימטר.

אם היֶתֶר הוא קוטר המעגל אזי המשולש ABC יישאר ישר-זווית גם כאשר נזיז את הנקודה B לכל נקודה על פני המעגל (למשל לנקודה E). אבל בכל נקודה שנבחר עבור B על פני המעגל, אורכו של הגובה ליֶתֶר לא יוכל להיות גדול מ-EO המופיע באיור 3. היות ש-EO הוא רדיוס המעגל, הרי שאורכו 5 סנטימטר. לכן אורכו של הגובה ליֶתֶר אינו יכול להיות 6 סנטימטר והמשולש המתואר במבחן אינו קיים במציאות.