חידות חשיבה (151)

תחרות ריצה (חלק ג')
תמונה של יצחק
ד"ר יצחק קאופמן

חוואי שברשותו 25 סוסים מבקש מאיתנו לקבוע מי מביניהם הוא המהיר ביותר, השני במהירותו והשלישי במהירותו.

מהו המספר המינימלי של מרוצים שעלינו לערוך כדי להשיג את המטרה בהינתן הפרטים הבאים:

(1) בכל מרוץ יכולים להשתתף 5 סוסים לכל היותר.

(2) אין ברשותנו שעון עצר ולכן לא ניתן למדוד זמני ריצה אלא רק לדעת מי הגיע ראשון, שני וכו' בכל מרוץ.

(3) מהירות הריצה של כל סוס אינה משתנה ממרוץ למרוץ.

רמז (אם אתם זקוקים לו):

תחילה נחלק את 25 הסוסים ל-5 קבוצות שבכל אחת מהן 5 סוסים, ונערוך מרוץ לכל קבוצה. לאחר מכן נשתמש בתוצאות 5 המרוצים כדי למחוק סוסים מרשימת המועמדים לשלישייה המובילה.

פתרון:

נכנה את שלושת הסוסים המהירים ביותר בשם "שלישיית הצמרת".

בשלב הראשון נחלק את 25 הסוסים ל-5 קבוצות שבכל אחת מהן 5 סוסים ונערוך מרוץ לכל קבוצה.

נסמן את הסוסים לפי סדר הגעתם: במרוץ 1 – א1 ראשון, א2 שני, א3 שלישי, א4 רביעי, א5 חמישי,

ובאופן דומה במרוץ 2 (ב1 עד ב5), במרוץ 3 (ג1 עד ג5), במרוץ 4 (ד1 עד ד5) ובמרוץ 5 (ה1 עד ה5).

כיוון שזמני הריצה לא נמדדים, אפשר להשוות בין מהירויות של סוסים שמשתתפים באותו מרוץ (לדוגמה, א2 מהיר מ-א3), אבל לא ניתן להשוות בין סוסים שמשתתפים במרוצים שונים (למשל, א4 לעומת ב2, ג2 לעומת ה5).

הטענה העיקרית לצורך הפתרון היא שכל סוס שהוא איטי מ-3 סוסים אחרים (או יותר) אינו יכול להיות בשלישיית הצמרת ונוכל למחוק אותו מרשימת המועמדים לשלישייה.

על סמך טענה זו נמחק את כל הסוסים שהגיעו במקומות הרביעי והחמישי ב-5 המרוצים הנ"ל. זאת משום שכל אחד מהם איטי משלושת הראשונים במרוץ הקבוצתי שלו. אחרי מחיקת א4, א5, ב4, ב5, ג4, ג5, ד4, ד5, ה4 ו-ה5 מרשימת המועמדים, נותרים ברשימה 15 סוסים.

עתה נערוך את מרוץ מס' 6 שבו ישתתפו חמשת הזוכים ב-5 המרוצים הנ"ל.

לשם פשטות נניח שסדר ההגעה במרוץ 6 יהיה א1 ראשון, ב1 שני, ג1 שלישי, ד1 רביעי, ה1 חמישי. (ניתן לבחור בסדר אחר אבל אז יהיה ההסבר קשה יותר להבנה).

עד כאן נערכו 6 מרוצים ובסיומם ניתן לומר בוודאות כי א1 הוא הסוס המהיר ביותר מכולם מכיוון שהוא ניצח את כל הסוסים בקבוצתו וגם ניצח במרוץ המנצחים. אבל 6 המרוצים אינם מספיקים כדי לדעת מי הם השני והשלישי בדירוג הכללי.

בשלב הבא נמחק מרשימת 15 הסוסים שנותרו כל מי שהוא איטי משלושה אחרים.

נמחק את ד1 ואת ה1 כי על סמך מרוץ 6 הם איטיים מ-א1, ב1, ג1.

נמחק את ד2 ואת ד3 כי על סמך מרוץ 4 הם איטיים מ-ד1 שכבר נמחק.

נמחק את ה2 ואת ה3 כי על סמך מרוץ 5 הם איטיים מ-ה1 שכבר נמחק.

על סמך מרוץ 6, ג1 איטי מ-א1 ומ-ב1 ולכן, גם אם ג1 יהיה בשלישיית הצמרת, הוא יהיה לכל היותר במקום השלישי. לכן נמחק את ג2 ואת ג3 כי על סמך מרוץ 3 הם איטיים מ-ג1.

במרוץ 6 זכה ב1 במקום השני. על סמך מרוץ 2, ב2 איטי מ-ב1 ולכן, גם אם ב2 יהיה בשלישיית הצמרת, הוא יהיה לכל היותר במקום השלישי. מכאן ש-ב3, שהוא איטי מ-ב2 על סמך מרוץ 2, לא ייכנס לשלישיית הצמרת. לפיכך, נמחק את ב3.

לאחר מחיקת 9 סוסים מתוך 15 נותרו ברשימת המועמדים 6 סוסים – א1, א2, א3, ב1, ב2, ג1. אבל כבר ראינו, בעקבות מרוץ 6, ש-א1 נקבע כמהיר ביותר מבין כל הסוסים ולכן אין צורך לשתפו במרוץ נוסף.

נותרו, אפוא, 5 סוסים שמועמדים למקומות השני והשלישי בדירוג הכללי – א2, א3, ב1, ב2, ג1. נערוך את מרוץ מספר 7 בהשתתפותם. מי שיגיע ראשון במרוץ 7 יהיה במקום השני הכללי, ומי שיגיע שני במרוץ 7 יהיה במקום השלישי הכללי.

לסיכום, המספר המינימלי של מרוצים שעלינו לערוך כדי לדעת מי הוא הסוס המהיר ביותר, מי השני במהירותו ומי השלישי במהירותו הוא 7. הדירוג נקבע באופן הבא:

הסוס המהיר ביותר הוא זה שניצח במרוץ 6.

הסוס השני במהירותו הוא זה שניצח במרוץ 7.

הסוס השלישי במהירותו הוא זה שהגיע שני במרוץ 7.

כדי לדעת מי יכול להיות במקומות השני והשלישי יש לקרוא את הנספח.

נספח:

במרוץ 7 משתתפים 5 סוסים – א2, א3, ב1, ב2, ג1. בהעדר אילוצים כלשהם ישנן 120 (5 עֲצֶרֶת) תוצאות אפשריות במרוץ זה – 24 שבהן א2 הוא ראשון, 24 שבהן א3 הוא ראשון, 24 שבהן ב1 הוא ראשון, 24 שבהן ב2 הוא ראשון ו-24 שבהן ג1 הוא ראשון.

אבל במקרה שלנו ישנם שלושה אילוצים: א2 חייב להיות לפני א3 (על סמך מרוץ 1), ב1 חייב להיות לפני ב2 (על סמך מרוץ 2) ו-ב1 חייב להיות לפני ג1 (על סמך מרוץ 6). לכן א3, ב2 ו-ג1 אינם יכולים לנצח במרוץ 7. בכך נשללות (24 כפול 3), כלומר 72 מתוך 120 התוצאות האפשריות במרוץ 7 ונותרות רק 48 אפשרויות. מתוך 48 האפשרויות הללו נשללות 28 עקב האילוצים ובסופו של דבר מקבלים 20 תוצאות אפשריות במרוץ 7 – 8 שבהן א2 ראשון ו-12 שבהן ב1 ראשון.

לסיכום הנספח, במקום השני יכולים להיות א2 או ב1. במקום השלישי יכולים להיות א3, או ב2 או ג1.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

2 תגובות

  1. חידות אינן גיעות ולכן אין מה לבקר ולתמוך. אבל הן מאוד חשובות כאן באתר. ואת זה אני מבקש לציין. עניינות ורציניות.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של עדו

מי אמר קיפוח?

על קיפוח רוב, קיפוח מיעוט ומה שביניהם