חידות חשיבה (144)

המתמטיקאי הגרמני פליקס קליין נולד בתאריך שבו היום, החודש והשנה הם ריבועים של מספרים ראשוניים. סכום שלושת המספרים הראשוניים האלה הוא 50.

מתי נולד קליין?

בדקו בוויקיפדיה את נכונות התשובה.

תזכורת: מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק (ללא שארית) רק ב-1 ובעצמו. המספר 1 אינו נחשב ראשוני. המספרים הראשוניים הראשונים הם, אפוא, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…

הערה: בחידה זו נרשמת השנה ב-4 ספרות.

רמז (אם אתם זקוקים לו):

בדקו אילו ימים ואילו חודשים הם ריבועים של מספרים ראשוניים.

פתרון:

ישנם רק שלושה ימים בחודש שמספרם הוא ריבוע של מספר ראשוני. אלה הם 4, 9 ו-25 (1 ו-16 הם ריבועים של מספרים שאינם ראשוניים). ישנם רק שני חודשים בשנה שמספרם הוא ריבוע של מספר ראשוני. אלה הם 4 ו-9.

שלושה ימים ושני חודשים יוצרים שישה צירופים אפשריים של יום וחודש:

א' – יום 4 בחודש 4;   ב' – יום 9 בחודש 4;

ג' – יום 25 בחודש 4;  ד' – יום 4 בחודש 9;

ה' – יום 9 בחודש 9;   ו' – יום 25 בחודש 9.

לפי נתוני החידה היום והחודש הם ריבועים של מספרים. נרשום את השורשים שלהם במקרים א' עד ו':

א' – שורש היום 2, שורש החודש 2;   ב' – שורש היום 3, שורש החודש 2;

ג' –  שורש היום 5, שורש החודש 2;   ד' – שורש היום 2, שורש החודש 3;

ה' – שורש היום 3, שורש החודש 3;   ו' – שורש היום 5, שורש החודש 3.

לפי נתוני החידה מתקיים: (שורש היום)  פלוס  (שורש החודש)  פלוס  (שורש השנה)  =  50.

מכאן מקבלים: (שורש השנה)  =  50  מינוס  (שורש היום)  מינוס  (שורש החודש).

המסקנה היא ששורש השנה במקרים א' עד ו' הוא:

א' – 46 ;  ב' – 45 ;  ג' – 43 ;  ד' – 45 ;  ה' – 44 ;  ו' – 42.

אבל גם שורש השנה צריך להיות ראשוני וזה מתקיים רק באפשרות ג'. המסקנה היא שרק אפשרות ג' עונה על כל דרישות החידה. 43 בריבוע שווה 1849 ולפיכך קליין נולד ב- 25 באפריל 1849.