א' וב' משחקים במשחק שבו כל אחד בתורו מכריז על תאריך מסוים בשנה. המשחק מתחיל ב-1 בינואר ואז תורו של א' להכריז ראשון. כל הכרזה חייבת לבחור בתאריך מאוחר יותר מהתאריך הקודם וזאת באחד משני אופנים – או מאוחר יותר באותו חודש, או באותו מספר יום בחודש כלשהו מאוחר יותר. לדוגמה, אחרי הכרזה על 3 באוגוסט חייבת ההכרזה הבאה לבחור בתאריך מאוחר יותר באוגוסט או באחד מבין 3 בספטמבר, 3 באוקטובר, 3 בנובמבר, 3 בדצמבר.
מי שמכריז על 31 בדצמבר זוכה במשחק.
(א) האם אחד השחקנים יכול להבטיח את ניצחונו ואם כן מה צריכה להיות האסטרטגיה שלו?
(ב) האם יש הבדל בתשובה לחלק (א) אם המשחק נערך בשנה מעוברת?
רמז (אם אתם זקוקים לו):
כדאי להתחיל מה-31 בדצמבר וללכת אחורה בזמן.
פתרון:
(א) א' יכול להבטיח את ניצחונו. הוא יכול לעשות זאת אם יקפיד להכריז על אחד מהתאריכים המופיעים ברשימה הבאה שתיקרא להלן "הרשימה המנצחת":
20 בינואר, 21 בפברואר, 22 במרץ, 23 באפריל, 24 במאי, 25 ביוני, 26 ביולי, 27 באוגוסט, 28 בספטמבר, 29 באוקטובר, 30 בנובמבר, 31 בדצמבר.
קל לזכור את הרשימה הזו כי כל תאריך בה מתקדם בחודש ויום ביחס לתאריך הקודם לו.
נראה עתה דוגמה להתנהלות המשחק. ההתחלה היא, כאמור, ב-1 בינואר. לכן בהכרזה הראשונה א' יכול לבחור כל יום אחר בינואר או באחד מבין 1 בפברואר, 1 במרץ, 1 באפריל וכו'. מובן שהוא בוחר בתאריך מתוך הרשימה המנצחת ולכן הוא מכריז על 20 בינואר.
עתה יכול ב' להכריז על יום מאוחר יותר בינואר או על אחד מבין 20 בפברואר, 20 במרץ, 20 באפריל וכו'. נניח שהוא מכריז על 28 בינואר.
עכשיו מחפש א' ברשימה המנצחת תאריך שמכיל את המספר 28 וכתוצאה מכך הוא מכריז על 28 בספטמבר.
עתה יכול ב' להכריז על יום מאוחר יותר בספטמבר או על אחד מבין 28 באוקטובר, 28 בנובמבר או 28 בדצמבר. נניח שהוא מכריז על 28 בנובמבר.
עכשיו בוחר א' תאריך מאוחר יותר מהרשימה המנצחת, במקרה זה 30 בנובמבר.
עתה, כיוון שב' לא יכול לבחור יום מאוחר יותר בנובמבר, הוא נאלץ להכריז על 30 בדצמבר.
עכשיו מכריז א' על 31 בדצמבר ומנצח במשחק.
אחרי שראינו כיצד לנצח, נסביר איך נבנתה הרשימה המנצחת. הדבר נעשה באמצעות הליכה מסוף השנה אחורה.
כאמור, 31 בדצמבר הוא תאריך מנצח. כל יום אחר בדצמבר הוא תאריך הפסד, כי בחירה בו מאפשרת ליריב להכריז על 31 בדצמבר.
נעבור לנובמבר. 30 בנובמבר הוא תאריך מנצח כי הוא מאלץ את היריב להכריז על 30 בדצמבר שהוא תאריך הפסד. כל יום אחר בנובמבר הוא תאריך הפסד, כי בחירה בו מאפשרת ליריב להכריז על 30 בנובמבר שהוא תאריך מנצח.
נעבור לאוקטובר. 31 באוקטובר הוא תאריך הפסד כי הוא מאפשר ליריב להכריז על 31 בדצמבר. 30 באוקטובר הוא תאריך הפסד כי הוא מאפשר ליריב להכריז על 30 בנובמבר שהוא תאריך מנצח. לכן 29 באוקטובר הוא תאריך מנצח כי הוא מאלץ את היריב לבחור באחד מבין ארבעת הימים המפסידים – 30 באוקטובר, או 31 באוקטובר, או 29 בנובמבר, או 29 בדצמבר.
ניתן להמשיך וללכת אחורה בתאריכים ולהבחין בתבנית ברורה: כדי לקבל את התאריך המנצח הבא צריך לחזור אחורה חודש ועוד יום, כלומר להחסיר חודש אחד ולהחסיר עוד יום אחד. כך מקבלים את הרשימה המנצחת הנ"ל.
כל התאריכים ברשימה המנצחת מתאפיינים בכך שבכולם מספר היום מינוס מספר החודש שווה 19.
(ב) התשובה לחלק (א) אינה משתנה אם המשחק נערך בשנה מעוברת משום שהיום הנוסף, 29 בפברואר, אינו משפיע על אסטרטגיית הניצחון.
2 תגובות
ההסבר הפעם ארוך פי כמה מהרגיל
כנראה שזה מעיד על המורכבות
פתרון די מסובך
יש לי רק להגיד לכם תודה על המדור הזה שנשאר רלוונטי תמיד ולא מתפוגג עם האקטואליה