בטקס הסיום של קורס הטיס בחיל האוויר נהוג שהבוגרים זורקים את כובעיהם כלפי מעלה ואחר כך אוספים את הכובעים מהרצפה. כשצפיתי בטקס של יוני 2021, שבו סיימו את הקורס 39 בוגרים, תהיתי מהו מספר האפשרויות השונות לאיסוף הכובעים מהרצפה ומה הסיכוי שכל אחד מהבוגרים יאסוף את הכובע השייך לו. חישוביי הגיעו למספרים אסטרונומיים (בעלי 45 ספרות ויותר). לפיכך, החידה תעסוק במספר צנוע יותר של בוגרים.
החידה
4 בוגרי קורס טיס זורקים את כובעיהם כלפי מעלה ואחר כך אוספים את הכובעים מהרצפה.
(א) מה הסיכוי שאף בוגר לא יאסוף את הכובע השייך לו.
(ב) מה הסיכוי שיותר מ-2 בוגרים יאספו את הכובעים השייכים להם.
רמז
רצוי לרשום את כל האפשרויות לאיסוף הכובעים.
פתרון
כיוון שעברנו לעסוק במספר קטן של בוגרים, קל לרשום את כל האפשרויות לאיסוף הכובעים. עבור 4 כובעים יש 24 אפשרויות שונות (4 עצרת. מושג העצרת מוסבר בחידה 80).
נכנה את ארבעת הבוגרים אא', בב', גג', דד' ואת כובעיהם המקוריים א', ב', ג', ד', בהתאמה.
הטבלה הבאה מפרטת את כל האפשרויות לאיסוף הכובעים מהרצפה כאשר אא' אוסף את הכובע הרשום ראשון מימין, בב' אוסף את הכובע הרשום במקום השני מימין, גג' אוסף את הכובע הרשום במקום השלישי מימין ודד' אוסף את הכובע הרשום במקום השמאלי ביותר. לדוגמה, אפשרות 17 היא "גדאב" ופירושה: אא' אסף את כובע ג', בב' אסף את כובע ד', גג' אסף את כובע א', דד' אסף את כובע ב'.
| אפשרות | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| אבגד | אבדג | אגבד | אגדב | אדבג | אדגב | באגד | באדג | |
| אפשרות | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| בגאד | בגדא | בדאג | בדגא | גאבד | גאדב | גבאד | גבדא | |
| אפשרות | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| גדאב | גדבא | דאבג | דאגב | דבאג | דבגא | דגאב | דגבא |
(א) בטבלה ניתן לראות כי ב-9 מתוך 24 אפשרויות (מס' 8, 10, 11, 14, 17, 18, 19, 23, 24) אף בוגר לא יאסוף את הכובע השייך לו, כלומר הסיכוי לכך הוא 37.5% .
(ב) למעשה אנו מתבקשים לחשב את הסיכוי ש-3 או 4 בוגרים יאספו את הכובעים השייכים להם. הסיכוי שבדיוק 3 בוגרים יאספו את הכובעים השייכים להם הוא 0. זאת משום שאם 3 מתוך 4 בוגרים יאספו את הכובעים השייכים להם, אזי ממילא גם הבוגר הרביעי יאסוף את הכובע השייך לו, ואז יתקיים מצב שכל הארבעה אספו את כובעיהם המקוריים ולא שלושה בלבד.
מספר האפשרויות שבהן כל 4 הבוגרים יאספו את הכובעים השייכים להם הוא 1 (אפשרות מס' 1 בטבלה).
המסקנה היא שהסיכוי שיותר מ-2 בוגרים יאספו את הכובעים השייכים להם הוא 1 חלקי 24, כלומר 4.2% .
למעוניינים בהרחבה
ביצעתי חישובים גם עבור יותר מ-4 בוגרים. להלן כמה מהתוצאות:
במקרה של 7 בוגרים יש 5040 אפשרויות שונות (7 עצרת) והן מתחלקות באופן הבא:
ב-1854 אפשרויות אף בוגר לא יאסוף את הכובע השייך לו.
ב-1855 אפשרויות בוגר אחד בדיוק יאסוף את הכובע השייך לו.
ב-924 אפשרויות 2 בוגרים בדיוק יאספו את הכובעים השייכים להם.
ב-315 אפשרויות 3 בוגרים בדיוק יאספו את הכובעים השייכים להם.
ב-70 אפשרויות 4 בוגרים בדיוק יאספו את הכובעים השייכים להם.
ב-21 אפשרויות 5 בוגרים בדיוק יאספו את הכובעים השייכים להם.
אין שום אפשרות ש-6 בוגרים בדיוק יאספו את הכובעים השייכים להם.
יש אפשרות אחת שבה כל הבוגרים יאספו את הכובעים השייכים להם.
במקרה של 10 בוגרים יש 3,628,800 אפשרויות שונות (10 עצרת) וב-1,334,961 מתוכן אף בוגר לא יאסוף את הכובע השייך לו.
2 תגובות
פעם ראשונה נכנסתי למדור החידות. היה לי קשה. אפילו עם הפיתרון.
ניסיתי ובסוף עם העזרה הצלחתי
יש לי כעת אתגר להתחיל לפתור חידות כאלה
מקווה להשתפר.