חידות חשיבה (125)

מטבע מתגלגל
שתי מטבעות חצי שקל

קחו שני מטבעות זהים (רצוי של חצי שקל, כמו בתמונת הכותרת). נכנה את העליון א' ואת התחתון ב'. החזיקו את ב' קבוע במקומו וגלגלו, בכיוון השעון, את א' על ההיקף של ב' עד שא' יחזור למקומו המקורי. יש להקפיד שהגלגול יהיה "טהור", כלומר שא' רק יסתובב סביב עצמו ולא "יחליק" על פני ב'. (אם תתקשו בכך תוכלו לבצע את הניסוי עם שני עיגולים גדולים מקרטון).

 

כמה פעמים הסתובב א' סביב עצמו עד שהשלים הקפה אחת סביב ב'?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

מרבית התשובות שניתנו לי, תוך כדי תמיהה על פשטות השאלה, היו "פעם אחת". זו תשובה שגויה.

 

פתרון

נזכיר כי היקף מעגל שרדיוסו R הוא (2 כפול פַּאי כפול R) שבהמשך ייכתב (2 פַּאי R).

הגלגול הוא תנועה סיבובית סביב מרכז המטבע המתגלגל ולכן המרחק שמרכז זה עובר בגלגול קובע כמה סיבובים נעשים.

כאשר מטבע מתגלגל על פני מישור, מרכזו נע במקביל למישור ובמרחק רדיוס מהמישור (ראו איור 1). באיור אפשר לראות שכאשר המטבע המתגלגל משלים סיבוב שלם הוא חוזר למצבו המקורי עם החץ כלפי מעלה. מרכז המטבע עובר מרחק של (2 פַּאי R), כלומר המטבע מסתובב בדיוק פעם אחת סביב עצמו.

אבל כאשר א' מתגלגל סביב ב' (ראו איור 2), המרכז של א' נע במסלול מעגלי סביב המרכז של ב'. המרחק בין שני המרכזים הוא לא רדיוס אחד אלא שני רדיוסים ולכן המרחק שעובר מרכז א' בהקפה מלאה של ב' הוא (4 פַּאי R). מכיוון שהיקף המטבע הוא (2 פַּאי R), אזי א' מסתובב פעמיים סביב עצמו בהקפה מלאה של ב'.

באיור 2 ניתן לראות שכאשר א' (בקו השבור) מתגלגל על פני ב' (בקו המלא) ומשלים חצי הקפה (מצב 3), החץ של א' מצביע כלפי מטה, בדיוק כמו במצב 1. פירוש הדבר שא' כבר הסתובב סיבוב שלם סביב עצמו. כאשר א' עובר בגלגול את יתרת הדרך ומגיע למצב 5, החץ שלו מצביע שוב כלפי מטה ופירוש הדבר שהוא הסתובב סיבוב שני.

ניתן לראות זאת גם בתמונה השנייה בניסוי שערכתי.

משמאל המצב ההתחלתי 1 ומימין מצב 3. רואים שהמספר ½ שעל א' חזר למצבו ההתחלתי וכך גם הפס הלבן. המסקנה היא שבחצי הקפה א' הסתובב סיבוב שלם ומכאן שבהקפה שלמה הוא הסתובב פעמיים סביב עצמו.

 

למתקדמים:

אם נסמן ב-A את הרדיוס של א' ו ב-B את הרדיוס של ב', אזי בזמן הגלגול מרכז א' ינוע על פני מעגל שמרחקו ממרכז ב' הוא [A פלוס B], כלומר הוא יעשה סיבוב מעגלי שאורכו (2 פַּאי כפול [A פלוס B]). בחידה שלנו B=A ולכן [A פלוס B] שווה (2 כפול A) ואורך המסלול הוא (4 פַּאי A), כלומר פי 2 מההיקף של A. לכן על א' להשלים 2 סיבובים.

ומה יקרה כאשר רדיוסו של א' קטן פי 2 מרדיוסו של ב'? במקרה זה B שווה ל-(A כפול 2) ולכן [A פלוס B] שווה ל-(A כפול 3) ואורך המסלול הוא (6 פַּאי A), כלומר פי 3 מההיקף של A. לכן על א' להשלים 3 סיבובים.

על סמך אותם שיקולים ניתן להסיק באופן כללי כי מספר הסיבובים שא' יעשה סביב עצמו עד שישלים הקפה אחת של ב', הוא 1 פלוס (B חלקי A).

מכאן:

אם הרדיוס של א' קטן פי 3 מהרדיוס של ב' אזי (B חלקי A) שווה 3 ולכן א' יסתובב 4 פעמים.

אם הרדיוס של א' קטן פי 4 מהרדיוס של ב' אזי (B חלקי A) שווה 4 ולכן א' יסתובב 5 פעמים.

אם הרדיוס של א' קטן פי 17 מהרדיוס של ב' אזי (B חלקי A) שווה 17 ולכן א' יסתובב 18 פעמים.

וכן הלאה.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

2 תגובות

  1. תארו לעצמכם חידה על מטבעות וירטואליים ולא אמיתיים
    מה הייתם שמים בתמונה?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

תמונה של קימל

אולי אנחנו טועים?

חמאס והג'יהאד האסלאמי מנהלים את המערכה מעל לראשינו