חידות חשיבה (119)

תולעים בגבינה הולנדית
תמונה של ד"ר קאופמן
ד"ר יצחק קאופמן

שתי תולעים עומדות באחד הקודקודים של גוש גבינת גאודה בצורת קובייה. הן יוצאות ביחד במטרה להגיע מהר ככל האפשר לקודקוד הנגדי המרוחק ביותר. אחת מהן יכולה לחדור לתוך הגבינה והשנייה חייבת ללכת על פני הגבינה. מהירות התולעת שהולכת על פני הגבינה גדולה ב- 30% מזו של התולעת שעוברת בתוך הגבינה ושתיהן שומרות על מהירות קבועה. מי מהן תגיע ראשונה לקודקוד הנגדי?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

המסלול הקצר ביותר בתוך הגבינה הוא טריוויאלי. כדי למצוא את המסלול הקצר ביותר על פני הגבינה כדאי לפרוש את דפנות הקובייה על פני מישור.

 

פתרון:

נניח ששתי התולעים נמצאות בקודקוד ד' של הקובייה (ראו איור 1) ומטרתן להגיע לקודקוד ו' שהוא הקודקוד הנגדי המרוחק ביותר.

קוביה

נכנה את האלכסונים על פני פאות הקובייה בשם "אלכסון שטח" (יש 12 כאלה, למשל א-ג, ב-ז, ג-ו), ואת האלכסונים שמחברים את הקודקודים הנגדיים המרוחקים ביותר בשם "אלכסון נפח" (יש 4 כאלה, א-ז, ב-ח, ג-ה, ד-ו). בעזרת משפט פיתגורס ניתן להראות שאם אורך הצלע של הקובייה הוא a אזי האורך של אלכסון שטח הוא (a כפול שורש 2) והאורך של אלכסון נפח הוא (a כפול שורש 3).

נדגים את הפתרון לגבי המסלול ד-ו.

בתוך הקובייה מובן שהמסלול הקצר ביותר הוא אלכסון הנפח ד-ו ואורכו הוא, כאמור, (a כפול שורש 3).

כדי לחשב את אורך המסלול ד-ו הקצר ביותר על פני הקובייה, נפרוש את דפנותיה באופן המתואר באיור 2 שבו המסלול הזה מתואר בקו מלא. ניתן לראות שהוא עובר תחילה בפאה ז-ג-ד-ח, מגיע לאמצע ז-ח ומשם ממשיך בפאה ה-ו-ז-ח עד ו'.

לפי משפט פיתגורס מתקיים (ד-ו) בריבוע שווה (ג-ד) בריבוע פלוס (ג-ו) בריבוע, וזה שווה a בריבוע ועוד (2 כפול a) בריבוע, כלומר 5 כפול (a בריבוע).

המסקנה היא שאורך המסלול ד-ו הקצר ביותר על פני הקובייה הוא (a כפול שורש 5).

אם נפרוש את הקובייה באופנים אחרים, נוכל לראות שקיימים 6 מסלולים קצרים ד-ו על פני הקובייה והם אלה שיוצאים מד' ועוברים דרך אמצע א-ב, דרך אמצע ב-ג, דרך אמצע א-ה, דרך אמצע ג-ז, דרך אמצע ה-ח ודרך אמצע ז-ח. באיורים 2 ו-3 מתואר המסלול דרך אמצע ז-ח.

קוביה

קיבלנו שהמרחק הקצר ביותר בין 2 קודקודים נגדיים הוא (a כפול שורש 3) בתוך הקובייה, ו- (a כפול שורש 5) על פני הקובייה.

נכנה את התולעת שיכולה לחדור לתוך הקובייה בשם א' ואת התולעת שחייבת ללכת על פני הקובייה בשם ב'. נסמן את זמן ההליכה שלהן בין הקודקודים ב-A ו-B, בהתאמה, ואת מהירות תולעת א' ב-V. לפי נתוני החידה מהירות תולעת ב' היא (V כפול 1.3).

הזמן, כידוע, שווה למרחק חלקי המהירות. לכן A שווה ( aכפול שורש 3) חלקי V, ו-B שווה ( aכפול שורש 5) חלקי (V כפול 1.3).

מכאן מקבלים כי B חלקי A שווה (שורש 5) חלקי (שורש 3 כפול 1.3), כלומר 0.993.

קיבלנו ש-B קטן מ-A, כלומר תולעת ב', זו שחייבת ללכת על פני הקובייה, תלך זמן קצר יותר ולכן תגיע ראשונה לקודקוד הנגדי.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

3 תגובות

  1. חידות מעניינות וטובות. מידי פעם נכנס ומתמודד עם האתגרים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

ליד מסך מחשב

אתריום

כיצד רוכשים