במוזיאון הטבע באוניברסיטת תל אביב יש 45 זיקיות צבעוניות – 13 כחולות, 15 אדומות והשאר ירוקות. בכל פגישה בין 2 זיקיות בעלות צבעים שונים, משנות שתיהן את צבען לצבע השלישי. האם ייתכן שבשלב מסוים תהיינה כל הזיקיות באותו צבע?
רמז (אם אתם זקוקים לו):
התאימו לכל זיקית ערך מספרי בהתאם לצבעה ובדקו איך משתנה סכום המספרים של כל הזיקיות כאשר הן נפגשות.
פתרון:
נתאים באופן שרירותי ערך מספרי לכל זיקית בהתאם לצבעה, למשל 1 לכחולה, 2 לאדומה ו-3 לירוקה (אפשר לבחור גם התאמות אחרות). נסמן ב-S את סכום המספרים של כל הזיקיות. במצב ההתחלתי S שווה (13 כפול 1) פלוס (15 כפול 2) פלוס (17 כפול 3), כלומר 94. נראה מה קורה ל-S כאשר נפגשות 2 זיקיות בעלות צבעים שונים. ייתכנו 3 סוגים של פגישה כזו:
(א) זיקית כחולה פוגשת זיקית אדומה ושתיהן הופכות לירוקות. תרומת שתיהן ל-S משתנה מ-3 לפני הפגישה ל-6 אחרי הפגישה, כלומר הפגישה מגדילה את S ב-3.
(ב) זיקית כחולה פוגשת זיקית ירוקה ושתיהן הופכות לאדומות. תרומת שתיהן ל-S היא 4 לפני הפגישה ו-4 אחרי הפגישה, כלומר הפגישה אינה משנה את S.
(ג) זיקית אדומה פוגשת זיקית ירוקה ושתיהן הופכות לכחולות. תרומת שתיהן ל-S משתנה מ-5 לפני הפגישה ל-2 אחרי הפגישה, כלומר הפגישה מקטינה את S ב-3.
מסקנה: בעקבות כל פגישה בין שתי זיקיות הסכום S גדל ב-3, או קטן ב-3 או נשאר ללא שינוי.
ראינו שבמצב ההתחלתי Sשווה 94. זהו מספר שבחלוקה ב-3 נותן שארית 1. ראינו שבכל פגישה S גדל ב-3, או קטן ב-3 או נשאר ללא שינוי. פירוש הדבר שלאחר מספר כלשהו של פגישות, S ממשיך לשמור כל הזמן על התכונה של התחלקות ב-3 עם שארית 1.
נניח שבשלב מסוים תהפוכנה כל הזיקיות לבעלות אותו צבע.
אם כולן תהפוכנה לכחולות אזי S יקבל את הערך 45 כפול 1, כלומר 45.
אם כולן תהפוכנה לאדומות אזי S יקבל את הערך 45 כפול 2, כלומר 90.
אם כולן תהפוכנה לירוקות אזי S יקבל את הערך 45 כפול 3, כלומר 135.
המספרים 45, 90 ו-135 מתחלקים ב-3 בלי שארית. אבל ראינו ש-S חייב להתחלק ב-3 עם שארית 1. לפיכך, לא ייתכן שכל הזיקיות תהפוכנה לבעלות אותו צבע.
2 תגובות
איציק,
כרגיל, אהבתי.
אורי אדמון
תודה