חידות חשיבה (109)

בשלב חצי הגמר בקליעה למטרה באולימפיאדה יורה כל קלע ברובה למטרה במרחק 50 מטרים שצורתה משולש שווה-צלעות בעל אורך צלע של 2 מטר. רמת הקלעים היא גבוהה ביותר וכל ירייה שלהם פוגעת במטרה.

ההישג הנדרש לעלייה לגמר הוא לפחות 2 פגיעות שהמרחק ביניהן אינו גדול ממטר אחד. הקלעים אינם מסוגלים לראות את פגיעותיהם. כל קלע רשאי לירות כמה כדורים שיחפוץ אך ניתנת עדיפות למי שמגיע להישג הנדרש בכמה שפחות כדורים.

אחרי כמה כדורים כדאי לקלע להפסיק לירות?

רמז (אם אתם זקוקים לו):

חברו את כל נקודות האמצע של צלעות המשולש.

פתרון

נראה ש-5 יריות מבטיחות את ההישג הנדרש.

המשולש הגדול באיור העליון מתאר את המטרה – משולש שווה-צלעות בעל אורך צלע של 2 מטר. נחבר בקווים ישרים את כל נקודות האמצע של הצלעות (הקווים השבורים באיור) ונקבל 4 משולשים זהים ושווי-צלעות שאורך הצלע שלהם הוא מטר אחד. לפי עקרון שובך היונים (ראה הערה), חמש פגיעות במטרה מבטיחות שלפחות 2 מהן תהיינה בתוך אחד מהמשולשים הקטנים. המרחק בין 2 הפגיעות האלה אינו יכול להיות גדול ממטר אחד.

הערה: עקרון שובך היונים (The Pigeonhole Principle) קובע שאם בשובך יש X תאים, ולתוכם יש להכניס (1+X) יונים, קיים בהכרח תא אחד שבו תימצאנה לפחות 2 יונים. עקרון זה נקרא גם עקרון דיריכלה (Dirichlet) על שם האדם שניסח אותו לראשונה.

האם הקלע יכול להפסיק לירות לאחר 4 כדורים?

התשובה היא לא. האיור התחתון מתאר מקרה שבו פגעו 4 כדורים בנקודות A,B,C,D. ניתן להראות שאם AD שווה 1.15 מטר אזי BD שווה ל- CD ושניהם שווים 1.157 מטר. המרחק בין כל זוג פגיעות הוא, אפוא, גדול ממטר אחד והקלע לא יעלה לגמר.

המסקנה היא שכדאי לקלע להפסיק לירות לאחר 5 כדורים.