לכבוד חידה מס' 100 נקדיש שלוש חידות למספר 100.
כמה פעמים ברציפות מופיעה הספרה 0 בקצהו הימני של 100 עֲצֶרֶת?
נזכיר כי העֲצֶרֶת של מספר מוגדרת כמכפלת כל המספרים הטבעיים מ- 1 ועד אליו. לדוגמה, 5 עצרת (שמסומן !5) שווה 1 כפול 2 כפול 3 כפול 4 כפול 5 שווה 120. 7 עצרת שווה 5040.
רמז (אם אתם זקוקים לו):
מספר הפעמים שהספרה 0 מופיעה בסוף המספר הוא מספר הפעמים שהוא מתחלק ב- 10.
פתרון:
כשרוצים לדעת כמה פעמים מופיעה הספרה 0 בסוף מספר X, צריך לזכור שהתשובה היא בדיוק מספר הפעמים ש- X מתחלק ב- 10.
הפירוש של " X מתחלק ב- 10" הוא ש- X מתחלק ב- 2 וב- 5 ביחד. ברשימת המספרים מ- 1 עד 100, כל מספר זוגי מתחלק ב- 2 ורק כל מספר חמישי מתחלק ב- 5. לכן מספר הפעמים ש- X מתחלק ב- 5 הוא קטן יותר ממספר הפעמים ש- X מתחלק ב- 2. לפיכך, מספר הפעמים ש- X מתחלק ב- 5 הוא שקובע את מספר הפעמים שהוא מתחלק ב- 10. מכאן שאם נמצא כמה פעמים משתתף 5 במכפלה שיוצרת את 100 עצרת, נקבל את פתרון החידה.
נתבונן במכפלת המספרים מ- 1 עד 100 ונתחיל להחליף בה את המספר 5 ב- 5 כפול 1, את המספר 10 ב- 5 כפול 2, את המספר 15 ב- 5 כפול 3 וכך הלאה. כך נקבל 20 מופעים של 5. אבל עלינו לשים לב שבארבעת המספרים 25, 50, 75, 100 המספר 5 משתתף לא פעם אחת אלא פעמיים (כי את 25 מחליפים ב- 5 כפול 5, את 50 מחליפים ב- 5 כפול 5 כפול 2, את 75 מחליפים ב- 5 כפול 5 כפול 3 ואת 100 מחליפים ב- 5 כפול 5 כפול 4) ולכן במכפלת המספרים שיוצרת את 100 עצרת, המספר 5 משתתף 24 פעמים.
מכאן נובע ש- 100 עצרת מתחלק ב- 10 בדיוק 24 פעמים ולכן הוא מסתיים ב- 24 אפסים רצופים בקצהו הימני.
לאחר קריאת הפתרון נסו למצוא כמה פעמים ברציפות מופיעה הספרה 0 בקצהו הימני של 129 עצרת.
3 תגובות
מתי סבב הבחירות הבא?
בתוך הסידרה.
כל הכבוד על היצירתיות