חידות חשיבה (77)

מנפלאות המספר 7
המספר שבע
תמונה: Andre666 at English Wikipedia

כיוון שעסקינן בחידה 77, נקפיד להשתמש (בחידה עצמה, לא בפתרון) רק בספרה 7.

 

(א)  מהן שתי הספרות הימניות ביותר במספר 7 בחזקת 777, כלומר 7 כפול 7 כפול 7 כפול 7… וכך הלאה 777 פעמים?

(ב)  מעלים את המספר 7 בחזקת 7. את המספר שמתקבל מעלים שוב בחזקת 7 וכך ממשיכים 777 פעמים. מהי הספרה הימנית ביותר של המספר שמתקבל בסוף?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

כמובן שלא ניתן לחשב את המספרים המבוקשים בצורה ישירה, אבל צריך לשים לב שכאשר מעלים את 7 בחזקות הולכות וגדלות אזי שתי הספרות הימניות מופיעות באופן מחזורי.

 

פתרון:

(א) נרשום את החזקות הראשונות של 7.

7 בחזקת 1 שווה 7;   7 בחזקת 2 שווה 49;   7 בחזקת 3 שווה 343;

7 בחזקת 4 שווה 2401;   7 בחזקת 5 שווה 16807;   7 בחזקת 6 שווה 117649;

7 בחזקת 7 שווה 823543;   7 בחזקת 8 שווה 5764801;  7 בחזקת 9 שווה 40353607.

כמובן שלא נוכל להמשיך כך עד 7 בחזקת 777.

 

נרשום את שתי הספרות הימניות שקיבלנו עבור החזקות הראשונות:

חזקה ראשונה  – 07,  חזקה שנייה  – 49,  חזקה שלישית – 43,  חזקה רביעית – 01,

חזקה חמישית – 07,  חזקה שישית – 49,  חזקה שביעית – 43,  חזקה שמינית – 01,

חזקה תשיעית – 07.

ניתן להבחין שברשימת שתי הספרות הימניות קיימת מחזוריות: תחילה 07, לאחר מכן 49, לאחר מכן 43, לאחר מכן 01, ושוב 07 וחוזר חלילה.

 

המסקנה היא שבאופן כללי

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם שארית  1 אזי שתי הספרות הימניות הן 07

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם שארית  2 אזי שתי הספרות הימניות הן 49

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם  שארית 3 אזי שתי הספרות הימניות הן 43

אם החזקה מתחלקת ב- 4 בלי שארית    אזי שתי הספרות הימניות הן 01

 

על סמך מסקנה זו ניתן למצוא את שתי הספרות הימניות של 7 בחזקה כלשהי. במקרה הפרטי שלנו נשאלתם לגבי 7 בחזקת 777. כיוון שהמספר 777 מתחלק ב- 4 עם שארית 1, אזי שתי הספרות הימניות של 7 בחזקת 777 הן 07.

 

 

(ב) מכאן ואילך, במקום לומר "הספרה הימנית ביותר היא X", נרשום "המספר מסתיים ב- X".

ניתן לבדוק  ולהיווכח בקיומם של שני הכללים הבאים:

כאשר מספר כלשהו מסתיים ב- 7 ומועלה בחזקת 7, מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר מספר כלשהו מסתיים ב- 3 ומועלה בחזקת 7, מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

מכאן מקבלים:

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית פעם אחת מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית פעמיים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית שלוש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית ארבע פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית חמש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית שש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

כלומר: בכל השלבים של ההעלאה בחזקת 7

כאשר ההעלאה בחזקה נעשית מספר אי-זוגי של פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקה נעשית מספר זוגי של פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

777 הוא מספר אי-זוגי ולכן כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית 777 פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

2 תגובות

  1. כרגיל בסוף יש פתרון. אם לא בכוחות עצמך אז עם עזרת המחבר. אבל יוצאים עם פתרון חכם.

  2. של חידות הגיון ברמה שאתם כותבים כאן, זה היה שיעור מועיל ומאתגר ומשעשע ומבוקש

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך