חידות חשיבה (76)

כדורים בקופסה
תמונה של ד"ר קאופמן
ד"ר יצחק קאופמן

ברשותנו קופסה שבתוכה 91 כדורים שמהם 60 שחורים והשאר לבנים. ליד הקופסה נמצא שק שבו 900 כדורים שחורים. בכל שלב מוציאים באופן אקראי 2 כדורים מהקופסה ופועלים באופן הבא:

א. אם שניהם לבנים אזי זורקים אותם לשק ומעבירים כדור שחור מהשק לקופסה.

ב. אם אחד לבן ואחד שחור אזי מחזירים את הלבן לקופסה וזורקים את השחור לשק.

ג. אם שניהם שחורים אזי מחזירים אחד לקופסה וזורקים את השני לשק.

 

האם הקופסה תתרוקן? ואם כן, מה הצבע של הכדור האחרון שיהיה בה?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

שימו לב כי (1) בכל שלב מוציאים מהקופסה 2 כדורים ומכניסים אליה כדור אחד;

(2) בכל שלב מספר הכדורים הלבנים בקופסה יורד ב- 2 או שאינו משתנה.

 

פתרון:

מבלי להתייחס לצבעים, ניתן לראות שבכל שלב מוציאים מהקופסה 2 כדורים ומכניסים רק כדור אחד. לכן ברור שמספר הכדורים הכללי בקופסה יורד בהדרגה והיא תתרוקן בסופו של דבר.

ניתן לראות שמספר הכדורים הלבנים בקופסה יורד בהדרגה כי באפשרות א' הוא יורד ב- 2 ובאפשרויות ב' וג' הוא אינו משתנה. לפיכך, היות שבהתחלה יש בקופסה מספר אי-זוגי של כדורים לבנים, אזי מספרם יישאר אי-זוגי אחרי כל שלב. פירוש הדבר שמספר הכדורים הלבנים יקטן בהדרגה מ- 31 ל- 29, ל- 27, ל- 25 וכך הלאה עד שיגיע ל- 1, כלומר יהיה בקופסה כדור לבן בודד. אם בשלב זה יהיו עדיין בקופסה גם כדורים שחורים, הם יעברו בהדרגה לשק בהתאם לאפשרויות ב' וג' עד שכולם יצאו מהקופסה ויישאר בה כדור אחרון שהוא בצבע לבן.

 

הערה: הנקודה העיקרית בפתרון החידה היא שימור הזוגיות (במקרה זה שימור האי-זוגיות) של מספר הכדורים הלבנים בקופסה.

זה מזכיר את האתגר הבא: שימו לפניכם חמש כוסות – שלוש מהן הפוכות ושתיים ישרות. עתה עליכם להפוך בכל צעד בדיוק שתי כוסות ומטרתכם היא להגיע למצב שבו כל הכוסות ישרות. לאחר כמה ניסיונות תגלו שאין שום סיכוי שהמטרה תושג. זאת משום שבכל שלב הצעדים האפשריים הם הפיכת שתי כוסות ישרות, או הפיכת כוס אחת ישרה וכוס אחת הפוכה, או הפיכת שתי כוסות הפוכות. במקרה הראשון מספר הכוסות הישרות קטן ב- 2, במקרה השני מספר הכוסות הישרות לא משתנה ובמקרה השלישי מספר הכוסות הישרות גדל ב- 2. היות שמספר הכוסות הישרות בהתחלה הוא זוגי, הוא ימשיך להיות זוגי אחרי כל הפיכה. לכן לא ייתכן להגיע למצב שבו חמש הכוסות ישרות כי חמש הוא מספר אי-זוגי.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

2 תגובות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך