חידות חשיבה (60)

קוביות בקזינו חלק ב'
תמונת יצחק קאופמן
יצחק קאופמן

הפעם משתמש הקְרוּפְּיֶה (הממונה על שולחן המשחקים) בשלוש קוביות שהמספרים עליהן הם:

קובייה  א' – פעמיים 3, פעמיים 5, פעמיים 7.

קובייה  ב' – פעמיים 1, פעמיים 6, פעמיים 8.

קובייה  ג' – פעמיים 2, פעמיים 4, פעמיים 9.

הקוביות הן אמנם לא שגרתיות אבל הן קוביות הוגנות, כלומר ההסתברות ליפול על כל אחת מהפאות היא שישית.

הקרופיה מציע משחק שיתקיים בינו לבין מהמר יחיד. הראשון ביניהם יבחר קובייה אחת מתוך השלוש ויטיל אותה. לאחר מכן השני יבחר קובייה אחרת ויטיל אותה. מי שיקבל מספר גדול יותר יקבל מהאחר 50 דולר. המהמר רשאי לבחור אם הוא יהיה ראשון או שני. איזו אפשרות כדאי לו לבחור?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

הקוביות לא מקיימות את התכונה שאם א' גדול מב', וב' גדול מג', אזי א' גדול מג'.

 

פתרון:

למהמר כדאי להיות השני שיטיל קובייה כי סיכוייו לנצח גבוהים מאלו של המטיל הראשון.

נניח שהקוביות שייבחרו להטלה הן א' וב'. נפרט את כל תשע האפשרויות שיכולות להתקבל בהטלתן ומי הקובייה שתנצח בכל אחת מהאפשרויות.

א' שווה 3, ב' שווה 1 – א' מנצחת.

א' שווה 3, ב' שווה 6 – ב' מנצחת.

א' שווה 3, ב' שווה 8 – ב' מנצחת.

א' שווה 5, ב' שווה 1 – א' מנצחת.

א' שווה 5, ב' שווה 6 – ב' מנצחת.

א' שווה 5, ב' שווה 8 – ב' מנצחת.

א' שווה 7, ב' שווה 1 – א' מנצחת.

א' שווה 7, ב' שווה 6 – א' מנצחת.

א' שווה 7, ב' שווה 8 – ב' מנצחת.

ניתן לראות שמתוך תשע האפשרויות א' תנצח ב- 4 מקרים וב' תנצח ב- 5 מקרים.

המסקנה היא שב' עדיפה על א'.

 

נפרט עתה באופן דומה את האפשרויות שיכולות להתקבל בהטלת א' וג'.

א' שווה 3, ג' שווה 2 – א' מנצחת.

א' שווה 3, ג' שווה 4 – ג' מנצחת.

א' שווה 3, ג' שווה 9 – ג' מנצחת.

א' שווה 5, ג' שווה 2 – א' מנצחת.

א' שווה 5, ג' שווה 4 – א' מנצחת.

א' שווה 5, ג' שווה 9 – ג' מנצחת.

א' שווה 7, ג' שווה 2 – א' מנצחת.

א' שווה 7, ג' שווה 4 – א' מנצחת.

א' שווה 7, ג' שווה 9 – ג' מנצחת.

ניתן לראות שמתוך תשע האפשרויות א' תנצח ב- 5 מקרים וג' תנצח ב- 4 מקרים.

המסקנה היא שא' עדיפה על ג'.

 

האפשרויות שיכולות להתקבל בהטלת ב' וג' הן:

ב' שווה 1, ג' שווה 2 – ג' מנצחת.

ב' שווה 1, ג' שווה 4 – ג' מנצחת.

ב' שווה 1, ג' שווה 9 – ג' מנצחת.

ב' שווה 6, ג' שווה 2 – ב' מנצחת.

ב' שווה 6, ג' שווה 4 – ב' מנצחת.

ב' שווה 6, ג' שווה 9 – ג' מנצחת.

ב' שווה 8, ג' שווה 2 – ב' מנצחת.

ב' שווה 8, ג' שווה 4 – ב' מנצחת.

ב' שווה 8, ג' שווה 9 – ג' מנצחת.

ניתן לראות שמתוך תשע האפשרויות ב' תנצח ב- 4 מקרים וג' תנצח ב- 5 מקרים.

המסקנה היא שג' עדיפה על ב'.

 

קיבלנו, אפוא, את סדר העדיפויות הבא: א' עדיפה על ג', ג' עדיפה על ב', ב' עדיפה על א'. עובדה זו מנוגדת לתכונה שמאפיינת מספרים (ונקראת "טרנזיטיביות") ולפיה אם א' גדול מב' וב' גדול מג' אזי א' גדול מג'. במקרה שלנו, למרות שא' עדיפה על ג' וג' עדיפה על ב', לא מתקיים כי א' עדיפה על ב' אלא דווקא ההיפך.

המשמעות היא שלא קיימת קובייה שהיא "הכי טובה" ובחירת הקובייה העדיפה תלויה בקובייה הראשונה שנבחרה. המסקנה היא שכדאי למהמר להיות השני שמטיל קובייה כי אז יש לו סיכוי גבוה יותר לנצח. על המהמר לפעול באופן הבא:

אם הקרופיה יבחר את קובייה א' אזי המהמר יבחר את קובייה ב' (כי ב' עדיפה על א').

אם הקרופיה יבחר את קובייה ב' אזי המהמר יבחר את קובייה ג' (כי ג' עדיפה על ב').

אם הקרופיה יבחר את קובייה ג' אזי המהמר יבחר את קובייה א' (כי א' עדיפה על ג').

בכל אחד מהמקרים הסיכוי שהמהמר יזכה בכסף גבוה מהסיכוי שיפסיד כסף.

 

הערה: מובן שאף קזינו לא יציע משחק כזה שבו הסיכוי של הקזינו להפסיד גדול מהסיכוי שלו להרוויח.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

תגובה אחת

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך