חידות חשיבה (240)

בטבלה הבאה רשומים המספרים האי-זוגיים בסדר עולה כך שבשורה הראשונה מספר אחד, בשורה השנייה שני מספרים, בשורה השלישית שלושה מספרים, וכך הלאה.

חשבו את סכום המספרים הרשומים בשורה 100.

רמז (אם אתם זקוקים לו):

שימו לב שסכומי המספרים בארבע השורות הראשונות הם 1, 8, 27 ו-64, בהתאמה. מה מיוחד במספרים הללו?

פתרון:

סכום המספרים בשורה 1 הוא 1, סכום המספרים בשורה 2 הוא 8, בשורה 3 הוא 27 ובשורה 4 הוא 64. מה מיוחד במספרים 1, 8, 27, 64? התשובה היא שאלה הן החזקות השלישיות של 1, 2, 3 ו-4, בהתאמה. אם ממשיכים לבדוק את הסכומים של שורות נוספות רואים שאכן מתקיים שסכום המספרים בשורה שמספרה N הוא (N בחזקת 3).

כנהוג במתמטיקה, רצוי לאמת את הקביעה הזו באמצעות הוכחה ריגורוזית. אפשר לעשות זאת בקלות על סמך התכונות של סדרה חשבונית. אבל, כזכור, אני משתדל במדור זה להימנע מהחזרת הקוראים לימי בית הספר התיכון ולכן לא אביא כאן את ההוכחה.

כאמור, סכום המספרים בשורה N הוא (N בחזקת 3) ומכאן שסכום המספרים בשורה 100 הוא (100 בחזקת 3), כלומר 1,000,000.