מנתונים ועד למידע פורמלי

במאמר קודם תיארתי שלושה מסלולים המובילים אותנו מנתונים (תבניות של סימנים) למידע. הראשון ביניהם מוביל אותנו בדרך הקצרה ביותר מסימנים לתוכן. זהו המצב, או ההקשר, שבו יש הצדקה מלאה לזיהוי הסימנים עם תוכנם. אבל כפי שציינתי במאמרים קודמים, שדנו בשאלה האם מספר זה סימן? ובהבנת תפקיד האפס בהיסטוריה של הרעיונות, נהוג לזהות מידע חשבוני עם הנתונים החשבוניים. אי-ההבחנה בין ספרות למספרים נפוצה מאוד, למרות שמספר אף פעם איננו תבנית נתונה של ספרות, אלא המשמעות המיוחסת לתבנית הנתונה.

עובדה היא שרבים וטובים לא טורחים להיזהר ולהבדיל בין סדרות של ספרות או שמות של מספרים ובין המספרים עצמם שהם גדלים כמותיים. אפילו טיורינג (במאמרו המפורסם משנת 1950) כאשר רצה להסביר כיצד פועל המחשב הדיגיטלי כחיקוי של פעולת המְחשבות האנושיות בעבודתן המקצועית על סימנים על דפי נייר, טען שסדרת ספרות המאוחסנת במקום כלשהו בדף החישובים מהווה "אינפורמציה".

האם תמיד מידע יכול להיחשב כזהה לנתונים המייצגים אותו? האם תמיד אין במידע שום דבר שעודף על הסימנים הנתונים?

נעיין במידע הגלום בסדרת הספרות (כדוגמת "42" או "43"), מקובל להניח שאם היא מידע, אז היא מספקת תשובה לשאלה שנשאלה, אך האם היא גם מספקת מידע על השאלה שנשאלה? היא אפילו לא מספקת מידע על הבסיס שעלינו להשתמש כדי להרכיב את הסדרות האלה. אנו רגילים להשתמש בבסיס עשר. מבלי להכיר את ההרגל הזה, איננו יכולים לדעת איזה מספר מייצגת הסדרה "42".

בכל זאת, אפשר להשתמש בתבניות פשוטות יותר של ספרות כאילו היו המספרים בעצמם. לוגיקנים ידועי שם, שהכירו בבעייתיות של הגדרת מושג המספר, הציעו לא פעם להגדיר מספרים כסדרות של סמלים החוזרים על עצמם. בסופו של דבר, "מספר הוא מה שאנו עושים בו" (גוורס, בספרו "מבוא למתמטיקה", משנת 2007). אם אפשר להגדיר ולבצע את כל פעולות החשבון במספרים כאלה, כלומר, בסדרות הסמלים שנבחרו בהגדרה שכזו, סדרות אלה הן מספרים לכל דבר.

סדרה של סימנים חוזרים (למשל "I") יכולה לייצג את מספר האיברים שבה ללא צורך בשום מידע נוסף. כך "I" הוא המספר 1, ו-"IIII" הוא המספר 4. אנו מעגלים כאן פינות ומתעלמים מן הצורך לדעת כיצד לבצע ספירה (יצירה שיטתית של סדרת שמות המספרים) ומנייה (התאמה של סדרת שמות מספרים עוקבת לאיברי סדרה, או קבוצה כלשהי) כדי להפיק מסדרה נתונה, כגון "IIIIIIIIIIIII" את גודלה.

יתרה מזו, אפשר להגדיר ביחס לסדרות כאלה את פעולת העוקב ולגלות שנקבל את כל התכונות הבסיסיות של המספרים הטבעיים (השלמים והלא-שליליים). פעולת העוקב ל"מספר" כזה תהיה מוגדרת על ידי הוספת "I" יחיד לאותו "מספר". לפי הגדרה זו, העוקב של "I" הוא "II" ואילו העוקב של "IIII" הוא "IIIII". היות ומתקיימות כל האקסיומות של פיאנו ביחס ל"מספרים" אלה ולפעולת העוקב הזו, יכולים המתמטיקאים, בהצדקה מלאה, להתייחס אל הסדרות האלה, עצמן, כאל המספרים הטבעיים. כלומר, כל האריתמטיקה (תורת החשבון) וממנה כל המתמטיקה נגזרות ממספרים כאלה ללא הוספת שום הנחה או תנאי. כלומר, כל המידע המתמטי קשור לוגית בבסיס שהוא מידע פורמלי.

קישור הדוק של סימנים עם מערכות מתמטיות מתגלה גם בפיתוחים אלגבריים, כגון בהסתכלות על פולינומים כעל סוג מיוחד של מספרים. הפולינומים הם מספרים מיוחדים המתקבלים מהגדרת פעולות חשבון על תרכובות פורמליות של סימנים עם מספרים.

יש הסוברים שתמונות משקפות מידע באופן ישיר ומצהירים שתמונה שווה לאלף מילים. לדעתי זו השליה אופטית. עמד על כך הצייר מגריט בציור המקטרת המפורסם. בעקבותיו, אוכל לטעון כי האות אל"ף איננה נמצאת באף שורה בפסקה הזאת.

כמה יצירות אומנות נוצרו כדי לבטא את מהות האהבה? כמה ציורים יגלו לנו מהי האמת המתמטית? כמה ציורים יוכלו ללמד אותנו איך לצוד ביערות הקדמונים? כמה ציורים נדרשים כדי ללמד אותנו על ערכם המעשי של הדיונים הפילוסופיים?

___

אם כך, אם נגביל את השימושים במידע למידע הזהה עם הנתונים המייצגים אותו, נהיה מוגבלים מאוד. כרגע אין שום עדות לכך שתכנים בעלי ערך יוכלו להיות מיוצגים על ידי מידע פורמלי שאיננו מתמטי. ייתכן אפוא שמידע פורמלי הוא בהכרח מידע מתמטי. אך, למרות כל העושר של המידע המתמטי, הוא מוגבל. למשל, אם נרצה שתלמידנו ילמדו מדע טבע כלשהו, לא נוכל להסתפק בהצגת מידע מתמטי. עלינו אפוא לנסוק מהמידע הפורמלי ולדעת להשתמש במידע מסוגים מתוחכמים יותר.