על ערכן המפוקפק של המחשות קונקרטיות

האם משהו פגום במיומנויות של כולנו?
תרשים

בתמונת הכותרת מופיעה המחשה קונקרטית של רעיון תכנותי החשוב להבנת מושג החישוב, כפי שהוגדר בשנות ה-30. אז מה ניתן להבין מתמונה כזו?

בימי עבודתי בהכשרת מורים (בין השנים 1983–2010), נשמעה לעיתים קרובות הטענה שיש לעזור לתלמידים בלימוד חומר מופשט על ידי הצגת דוגמאות מוחשיות וקונקרטיות. אף אחד לא הסתייג מטענה זו. אני חשתי שמשהו איננו נכון בה, אך לא ידעתי להצביע ולומר מה בדיוק חסר בה. כמתמטיקאי שהורגל במסורת של חופש מהמחשות חזותיות, פקפקתי באמונה הגורפת שהמחשות קונקרטיות וחזותיות הכרחיות ומספיקות להוראה תקינה בייחוד בתחומים הקרובים למתמטיקה, כמו במדעי המחשב, בלוגיקה, בהוראת שימושים מתוחכמים בתוכנות, ובמדעים.

ואכן, ביטאתי לא פעם את תחושותיי כלפי ההבדל שבין המוחשי למופשט, כמו למשל במאמר "אליס של לואיס קרול: 'בלי תמונות ובלי שיחות?'" שפורסם באתר הזה לפני שנתיים. אך לא היה בידי טיעון מבוסס כדי להפריך את הטענה הדידקטית, וכדי להצביע במדויק על החשיבות המופרזת של ההמחשות בחינוך.

לפני ימים אחדים, כאשר קראתי מאמר ישן של דייקסטרה (מיום 7 בספטמבר 1986 ועודכן ביום 27 במאי 2010, שסימנו EWD975) על משפט פיתגורס, בהערת אגב אחת דייקסטרה פתר לי את הבעיה כליל. במאמר ההוא פרס דייקסטרה הוכחה חדשה למשפט. בסוף המאמר הוא התנצל על כך שנאלץ להשתמש בהמחשה ויזואלית וציין: "תמונות הן בדרך כלל מפורטות יתר על המידה ולכן הן כופות עליך לרוב בדיקה של המקרה (המוצג בתמונה)". כלומר, בהמחשה של רעיון כלשהו, יש תמיד יותר פרטים (ואם תרצו, יותר מדי מידע) ממה שנחוץ כדי להבין את הרעיון. פרטי ההמחשה מחייבים אותנו תחילה להפריד בין פרטי התוכן המומחש המוסתרים בהמחשה, ובין פרטים הקשורים למקרה הספציפי של ההמחשה. ללא בדיקה זו, הפרטים בהמחשה מסיחים את דעתנו והתוכן המומחש נעלם מתפיסתנו. איזה עיקרון מומחש בתמונה הפותחת את המאמר הזה?

הערה זו של דייקסטרה הזכירה לי חוויה לא נעימה שגרמתי לתלמידותיי לתואר שני בחינוך, לפני שנים מעטות. הן לא יכלו לזהות בתמונות שהצגתי בפניהן מה הוצג בפניהן. למעוניינים, אלה הן תמונות שתוכנתו בידי (כל ציור באמצעות שלוש שורות של קוד פשוט וקצר). התבוננו בתמונה והחליטו כיצד הכי פשוט לסרטט את כל הציורים המוצגים בה וציורים אחרים שאינם מוצגים בה, אך בנויים לפי אותו עיקרון. מהו העיקרון?

נדהמתי להיווכח שרובן התלוננו "איך אפשר לסרטט כל כך הרבה דלתונים?". האמת היא שכל הציורים האלה מורכבים מדלתונים וממשולשים שווי שוקיים, אבל אין זה הניתוח היחידי של הצורה המשותפת של כל ה"כוכבים" האלה. מה, אם כן, מוצג בציורים האלה? דלתונים השזורים על גבי מעגלים של משולשים השזורים במעגל, או גם משהו אחר? מתי להפסיק לשזור?

אציג לבדיקה מקרה מיוחד ופשוט יותר של הציורים הללו:

מי שנצמד אל אופן ההסתכלות הנובע מהבנת ניתוח כפירוק לגורמים סטטיים, יראה כאן מצולע בעל 10 צלעות, המוקף בעשרה משולשים שווי שוקיים חופפים וצלעותיהם הן המשך לצלעות המצולע, כך שאל כל שניים מהם הוצמד דלתון, שצלעותיו הן המשך לצלעות המשולשים, בהתאמה. יש כאן שזירה במעגל של צלעות (ליצירת המצולע) ואליהם הודבקו משולשים ואליהם דלתונים.

זהו ניתוח מדויק של הצורה, אלא שהוא תוקע אותנו. בציורים הקודמים יש שזירות נוספות ומדוע כאן הסתפקנו במעגל אחד של דלתונים? התבוננות מדוקדקת בצורה הזאת תחשוף הופעה של חמישה זוגות של קווים מקבילים. האם הופעה זו היא מקרית ומתי היא הכרחית? כדי להבין את הציור, אנו חייבים להשתחרר מהפרטים הקונקרטיים שלו: מצבע הקווים, מעוביים, ממספר הקודקודים ומגודל הזוויות שמופיעות בו. אנו חייבים לחשוב בדרך מופשטת ולמצוא דרך אחרת לנתח את הצורה.

הבנת הציור הזה, ועשרת הציורים הנוספים, תושג מיישום הגיאומטריה של הצב ככלי לסרטוטו. כל הציורים ביחד, מדגימים עד כמה מפורטות מדי הן ההמחשות הוויזואליות, ואין באף אחד מהם שום רמז ברור לניתוחם בעזרת צב מסרטט. אם תרצו, זו המחשה של הקושי שגלום בדרך כלל בהמחשות ויזואליות ובגילוי הסברים לתופעות קונקרטיות. אפילו המאמר הזה אמור לספק הסבר להמחשה זו, כי ההמחשה בלבד, איננה מספיקה.

מה מסביר את הופעת זוגות הצלעות המקבילות בציורים האלה במקרים המיוחדים כאשר היא מופיעה? האם אין כאן צורך במורה/מנחה גם כאשר מציפים את התלמידים בהמחשות? האם תוכנה לזיהוי צורות תהיה מסוגלת לבדה לזהות את העיקרון המומחש בציורים כאלה? ואולי יש כאן גם ביטוי למיומנות מדולדלת של כולנו, בצורך בהסתכלות נבונה בתמונות? על כך אמר יעקב אגם (בתוכנית שלו לחינוך חזותי משנת 2005) "אנו כולנו אנאלפביתים מבחינה חזותית". ההמחשות אינן חייבות להיות ויזואליות, או סטטיות כדי להסיט את דעתנו מהתוכן המומחש. הן תמיד מציגות פרטים לא רלוונטיים ומיותרים ועלינו לדעת להתעלם מהם ולברור את הטפל מהעיקר, כדי להבין את העיקרון המומחש בהן.

המסקנות מהדיון הזה הן פשוטות:

(1) כדאי ללמד את ילדינו באופן שיטתי כיצד להתבונן בהמחשות, כחידות התבוננות;

(2) המחשות יכולות לעזור בהפרכת סברות מוכללות על ידי הצגת "דוגמה נגדית" אבל אינן מוכיחות סברות;

(3) עלינו לחדול מלהניח שהמחשות (ללא סעד נוסף) עוזרות תמיד.

שיתוף ב facebook
Facebook
שיתוף ב twitter
Twitter
שיתוף ב linkedin
LinkedIn
שיתוף ב whatsapp
WhatsApp
שיתוף ב email
Email

6 תגובות

  1. מי מהקוראים יהיה מסוגל להבין או בכלל לקרוא
    כאן אולי יש אחוז מסוים שזה מעניין אותו
    אני בניהם

    1. והמאמרים שלי אינם פשוטים ודורשים עיון ולא סתם קריאה.
      עלי להודות על האמת, ולהודות גם לעורך האתר יונתן קורפל, כל מאמר שלי שמפורסם בו מעורר את השתאותי. ואני שמח על כל תגובה שמעידה על קריאה מאומצת ואמיצה 🙂

  2. שהרי ללא המחשות היה קשה או אפילו בלתי אפשרי להבין את האמירות אם הן היו רק במלל.

    1. בסוף המאמר פירטתי שלוש מסקנות, שאף אחת אינה טוענת שאין להשתמש בכלל בהמחשות, אלא ש…..

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

פרסום תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש באתר.
התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך.

עשוי לעניין אותך

מייצג כסאות

רות הישראלית

תובנות אקטואליות מקריאה ישראלית במגילת רות

מהי שחיתות?

הגיגים על מה שמתרחש אצלנו בצמרת ההנהגה

מדביר מועך חרק

הדברת נמלים

למה כדאי לעשות את זה בצורה מקצועית?